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Démonstration - Propriété des côtés opposés d'un parallélogramme

Transcription de la vidéo

on nous donne un parallélogramme abcd on sait que c'est un programme puisqu'on nous dit kb est parallèle à des c et b c est parallèle à adé donc c'est un parallélogramme et on nous demande de prouver à partir de ça que le segments à b et de même longueur que le segment des c et b c et de même longueur que le segment ad autrement dit les côtés opposés et donc parallèle d'un pareil programmes sont égaux c'est du moins ce qu'on nous demande de prouver donc pour ça on va commencer par avant toute chose tracer une diagonale on va prendre la diagonale db voilà et cette diagonale on va remarquer une chose c'est qu'elle coupe à d et b c qui sont deux segments mais qui sont inclus dans une droite aussi dans deux droites parallèles donc la droite ad la droite baisser son parallèle et elle est intercepté par une droite ici qui est la diagonale bd et donc on peut remarquer qu' on a des angles alterne interne par rapport à la droite bc et ad on à cbd cbd et à db qui sont des angles alternant terne et puisque les droites baissé et à des sons parallèle l'angle adb et des décès sont de même mesure les angles alternat terne sont égaux donc on vient de montrer que on a à d b qui est égal à ddc par les angles alterne je vais écrire un abrégé interne et de la même façon si on considère les droites parallèles à b et d c est bien on a cette fois ci l'angle à bd je vais écrire comme ceux ci est l'angle bdc qui sont cette fois ci les angles alternat terne et de la même façon puisque ab et d'essai sont de droite parallèle on a à b d cette fois ci qui est égal à bdc encore une fois avec les angles alterne interne et de droites parallèles donc on va continuer à observer notre figure donc on a des angles alternatives qui sont égaux grâce aux propriétés de parler l'isthme des côté opposé du par des lots g et maintenant on va s'intéresser aux deux triangles bdc et à db alors la première chose qu'on peut remarquer c'est qu'ils ont un côté en commun ils ont tous les deux le segment b des qui appartient à la fois à bd et des décès maintenant si on regarde ce côté et ses deux angles cbd et bdc on à l'angle bdc qui est le même que db à et l'angle ad d qui est de même mesure que db c'est donc on a un angle un côté un angle et là on a un angle un côté et un angle et bien ça ça nous suffit le fait de savoir qu'il y a deux angles et un côté pour qu'ils sont identiques entre deux triangles et bien ça nous permet ça nous suffit pour pouvoir dire que les triangles bdc adb son isométrique on peut dire que donc on à bdc et à dd il aux métriques est autrement dit leurs trois côtés sont égaux avec le côté correspondant donc si on regarde des c est bien le côté correspondant à des c'est sûr à db et bien c à b donc on en déduit que dc est égal à ab grâce au fait que ces deux triangles sont ils ont métriques et de la même façon on a b c qui est le côté correspondant à adé dans le triangle adb et d'essai est égal à adé donc ces deux triangles isométrique bdc et à des bo3 côté identique 2 à 2 on a à b d'équité galladé cbc qui est égal à adé donc on vient de démontrer que en plus d'être parallèle les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux donc de même longueur 2 à 2 maintenant on va faire la démonstration dans l'autre sens on va supposer qu'on nous donne un quadrilatère quelconque a b c d et on nous demande de prouver que ab et parle l adc et que b c est parallèle à adé et la seule indication qu'on a c'est que les côté opposé de ce quadrilatère sont égaux 2 à 2 on a à b qui est égal à dc et b c qui est égal à adé donc la démonstration va être très très semblables on va commencer par tracer la diagonale db un petit peu mieux que ça voilà et on va s'intéresser aux angles qui apparaissent donc ici je vais mettre un figurer avec trois traits tout simplement pour pointer l'évidence que bd et de même longueur que bd bien évidemment puisqu'il est égal à lui-même donc maintenant si on remarque si on s'intéresse au triangle à bd et au triangle bdc et bien ces triangles ont leurs trois côtés identique 2 à 2 on a à d qui est égal à baisser on aa beke de bonnes longueurs que dc et bd qui est bien sûr égal à bd donc on peut déduire une première chose c'est que à bd et bdc ces deux triangles sont isométrique isométrique ils ont donc leurs trois côtés et gow 2 à 2 mais également leurs angles leurs angles leurs angles correspondant est le premier angle auquel on va s'intéresser à bd et les angles en fait et bd c'est donc cet angle là puisque il est entre ab et bd et de même mesure que lang bd et d'essai puisque décès et de même longueur que ab donc ces deux angles sont les sommes correspondant entre les deux triangles et en réalité si on regarde la droite ab et la droite décès on a une droite db qui vient intersecté c'est de droite et on a donc deux angles alterne interne à bdc bdc qui sont égaux et ça c'est équivalent à dire que les droites ab et d'essai sont parallèles dont on a à b qui est parallèle à dc avec les angles alterne interne égaux donc ça veut dire que ab et d'essai sont parallèles et bien on fait maintenant la même chose pour des baissés cet angle d baissé et à db ses angles sont identiques puisque les deux triangles santis de metric et ce sont des angles interne interne des droites à d et b c qui est un qui sont toutes les deux intercepté par une droite db ce sont des angles intérêts internes et comme ils sont égaux c'est équivalent à dire que ad est parallèle à baisser donc on a à d qui est parallèle à baisser pour la même justification que précédemment donc on vient de démontrer dans l'autre sens que si on a un un quadrilatère quelconques dont donc il est passé quelconque que ça mais au début on ne sait pas de quel type il est si on a un quadrilatère dont les côtés opposés sont égaux 2 à 2 et bien ce quadrilatère est nécessairement un parallélogramme c'est à dire que ses côtés opposés sont en plus d'être domaine longueur parallèle entre 2 à 2