If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :5:07

Démonstration - Formule de l'aire d'un losange

Transcription de la vidéo

salut dans cette vidéo on nous donne un losange a b c d et on nous demande de prouver que la surface du losange abcd est égal à 1,2 me x assez x bd donc autrement dit 1/2 multiplie par le produit de la longueur des deux diagonales donc d'abord première chose qu'on va faire on va essayer d'écrire sur cette figure tout ce qu'on sait sur les losanges une fois qu'on a dit que c'était un losange quesque quelle propriété particulière il en découle donc on va commencer par placer le centre on va appeler eux et qu est ce qu on sait donc on s'est d'abord que un losange à tous ses côtés égaux donc de même longueur d'onde qu'on a à d qui est égal à dc qui est égal à baisser et qui est égal à ab première chose on sait aussi que puisque un losange est un parallélogramme particulier eh bien ces diagonales se coupant leur milieu autrement dit on à la longueur à eux qui est égale à la longueur je sais donc on a ici figuré pour dire que à égal c est de la même façon d eux est égale à e bay encore une fois d eux est égale à e bay maintenant dernière chose et on vient juste de le démontrer dans la vidéo précédente on sait que non seulement les diagonales se coupant leur milieu mais elles se coupent perpendiculairement donc on a ici un angle droit un autre angle droit un troisième angle droit et un quatrième angle droit donc on a quatre triangles rectangles maintenant on va pouvoir s'intéresser à la surface de ce losange la surface de l'eau de ce losange finalement qu'est-ce que ça va être regardons un peu quel triangle remarquable on peut trouver dans ce losange et bien qu'est ce qui se passe si on regarde à b d et b c d et bien comparons un peu les côtés de a b d et b c d et bien déjà on voit qu'ils ont un côté en commun le côté bd et leurs deux autres côtés et bien sont de même longueur pour le côté ab de même longueur que baisser et le côté ad même longueur que et c'est donc on peut dire à partir de sa queue à b d et b c d les triangles les triangles à dd et bcd tu me vois venir sont isométrique ce sont des triangles isométrique voilà avec un point donc ce sont des triangles isométrique puisqu'ils ont leurs trois côtés de même longueur leurs trois côtés correspondant donc finalement la surface de avait cédé abcd ça va être égal à la surface de ab des surfaces de ab des plus la surface de bcd et comme ces triangles sont isométrique la surface de bcd est égale à la surface de la bd donc on peut réduire ça à deux fois sabdu69 suffit de trouver la surface de la bd la x 2 pour obtenir la surface de notre losange donc qu'est ce que ça donne ça la surface de à bds bd bien la surface d'un triangle on sait que c'est égal à la moitié 1/2 x la base x la hauteur donc maintenant il va s'agir de déterminer quelle est la base alors la base la base du triangle la bd et bien cbd donc on va je reporte le 1/2 et j'écris la base donc bd x bd et x la hauteur et la hauteur qu'est ce quelle est la hauteur c'est à eux donc on va l'écrire à eux et à eux qu'est ce que c'est c'est égal à un demi de ac donc je vais apporter un petit peu tout ce qu'on a on a un demi de bd x 1/2 de ac a eu c'est égal à un demi de à c'est donc là déjà on a nos deux diagonales les deux diagonales de notre ange et des est assez et bien il suffit maintenant de reporter la surface de la bd dans l'expression deux fois elle sa bd pour qu'ils nous donnent la surface de du losange et en a donc s1 bcd qui est égale à deux fois et on reporte cette expression de foi 1/2 fois bd fois un demi de ac et le 2 si on développe cette expression va simplifier un 1/2 et on va obtenir juste sa 1/2 de bd fois assez autrement dit le produit des deux diagonales on vient donc de démontrer que la surface d'un losange était égal à la moitié du produit des deux diagonales ce qui en soi est un résultat relativement intéressant puisque pour connaître la surface d'un losange donc il ne suffit simplement de connaître la longueur des deux diagonales