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Démonstration - Propriété des diagonales d'un losange

Transcription de la vidéo

abcd est un losange on nous demande de prouver que les diagonales de ce quadrilatère donc les segments ac et bd sont perpendiculaires ac et bd d'abord qu'est-ce qu'on sait au sujet des losanges on sait qu'un losange c'est un parallélogramme particulier et donc qui dit pareil le g 10 côté opposé parallèle entre eux donc ad le côté ad et parallèle au côté baissé d'une part et on a également à b qui est parallèle à des c'est donc à b est parallèle à dc ça c'est une première chose maintenant on sait aussi que à losanges à ses quatre côtés ego ses quatre côtés sont de même longueur d'onde on a à d qui est de la même longueur que ab qui est également de même longueur que baisser et encore de la même longueur que dc les quatre côtés du losange sont égaux donc on la même longueur maintenant une dernière chose on sait que pour tous pareils g tous parlent et le g à ces diagonales qui se coupe en leur milieu ça va donc aussi être le cas pour un losange appelons le point e l'intersection des deux diagonales et bien comme les diagonales ac et bd se coupant leur milieu on a à eux qu'il est égal à eux c'est la longueur à eux est égal à eux c est de même la longueur behe est égale à la longueur ed voilà donc toutes les propriétés que l'on connaît une fois que l'on a dit qui a b c d et es tu un losange maintenant on va essayer de prouver que ac est perpendiculaire à bédée donc pour cela on va notamment s'intéresser à deux triangles en particulier alors on peut en prendre donc deux triangles qui sont collés on peut apprendre n'importe lesquels on va prendre en particulier ade et à eux bc2 triangle on va prouver qu'ils sont isométrique et à partir de là on va réfléchir aux angles dea et à eux b donc prenons les deux triangles ade ea et eb qu'est ce qu'on remarque on va regarder les côtés déjà on voit que ad est égal à ab ils ont la même longueur puisque ça vient du losange également des diagonales on a d e qui est égale à e bay et on a également un côté qui est commun à eux qui appartient aux deux triangles et bien sûr qui est égal à lui même on a donc deux triangles qui sont isométrique donc on a les triangles les triangles à ed et à b qui sont isométrique donc s'ils sont isométrique leurs trois côtés sont égaux 2 à 2 mais également leurs angles donc on a des à eux qui est égal à b à e et aussi et ça ça va nous intéresser particulièrement dea qui est égal à à eux b les angles d eux a et e bay sont égaux d'accord et en plus d'être égaux eh bien ils sont supplémentaire ils sont supplémentaires c'est-à-dire que leur somme est égal à 180 degrés donc je vais d'abord noter qu'ils sont des go donc avec si le même symbole pour les anglais ea ea et eb et puisque des e bay c'est un segment des b/e appartient au segment des bdr a plus à b est égal à 180° des a plus à b est égal à 180 degrés maintenant je peux remplacer une grâce à cette égalité je peux remplacer des appareils b donc je vais avoir à eux bplus a et b qui est égal à 180 degrés autrement dit deux fois à b qui est égal à 180° et donc je peux déterminée a et b la mesure de l'angle à e bay comme étant un gala 180 divisé par deux soit donc 90 degrés et j'en déduis tout de suite de par cette égalité que dea était aussi égal à 90 degrés donc en résumé j'ai les angles d ea ea et eb qui sont tous les deux des angles droits je reproduis là dessus je vais avoir par le même raisonnement l'égalité entre a et b et b c'est ici également géré l'angle droit et enfin j'ai pu j'ai aussi l'égalité behe c&c ed donc j'ai un autre angle droit donc on a bien prouvé que les diagonales ac et bd était perpendiculaire