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Si M(x1,y1) et N(x2,y2) sont 2 points d'une droite le quotient de y2 - y1 par x2 - x1 est constant

Transcription de la vidéo

on a toujours dit jusqu'à maintenant que le taux de variation de y par rapport à x d'une droite est toujours constant ou encore et c'est la même chose on a dit que l'inclinaison d'une droite est toujours constante donc la pente la pente d'une droite et la pente d'une droite en fait le coefficient directeur de cette droite c'est égal à la variation de y sur la variation de x et ce triangle ici c'est juste une abréviation pour le mot variation est donc dans le cas d'une droite ce ratio c'est constant c'est constant pour une droite est ce que je te propose dans cette vidéo c'est de prouver ça c'est de prouver que la pente une droite est toujours constante à l'aide de triangle semblables disons qu'on a ces deux points sur la droite quelle est la variation de x quand on passe de ce point à ce point est bien le x2 ce point là c'est celui ci le x de ce pont là c'est celui là donc la variation du x quand on passe d'un point à l'autre c'est ça c'est la variation de x et qu'elle la variation de y est bien même chose le y de ce point c'est ici le y de celui là celui ci donc la variation de y entre ces deux points c'est cette distance là c'est la variation de y ait ensuite on fait la même chose avec deux autres points disons qu'on a au hasard ce point là et puis ce point la même chose qu'elle est la variation de x ici et bien le xts ce point se lit ici et le yct celui là se lit ici tant que la variation de x et bien c'est toute cette distance là et la variation de y même chose le y de ce point là celui ci le y de celui ci celui là donc quand on passe de ce point à ce point la variation de y c'est toute cette distance là ici j'ai choisi au hasard deux couples de points et je veux montrer que la variation de y sur la variation de x ici nous amis n au même résultat que cette variation de y sur la variation de x ici et pour ça j'ai besoin de montrer que ces deux triangles sont semblables mais qu'est-ce que deux triangles semblable en géométrie deux triangles sont semblables de triangle sont semblables si et seulement si les angles de l'ain les angles tous les trois angles de lin sont égaux aux angles de l'autre aux trois angles de l'autre par exemple si j'ai un triangle comme ça avec cet angle qui est un angle droit 7 angles de 60 degrés et cet angle de 30 degrés et que j'ai un autre triangle comme ça avec cette enquête un angle droit cet angle 60 degrés et cet angle 30 degrés et bien même si les côtés de ces triangles ne sont pas de même longueur ces triangles sont semblables ils ont la même forme mais sont de tailles différentes cette angles de 60 degrés correspond à celui là cet angle de 30 degrés et correspond à celui là et cet angle droit correspond à cet angle droit l'a donc ces deux triangles sont semblables et ce qui nous intéresse ici à propos de deux triangles semblables c'est que leur côté sont proportionnelles autrement dit le ratio de ce côté sur ce côté va être égal au ratio de ce côté sur ce côté et tu vois tout de suite que ça va nous être bien utile pour prouver que la ponte de ces droites et constante alors ce qu'on va faire c'est montrer que ces deux triangles sont semblables ce qui veut dire que le ratio entre deux côtés correspondant est le même et donc si c'est vrai pour deux paires de poing de la droite c'est vrai pour toute la droite alors déjà on sait que ces deux triangles sont des triangles rectangles ces segments sont parfaitement horizontaux et ces segments sont parfaitement verticaux donc ces deux angles sont des angles droits maintenant il faut qu'on montre que les angles restants sont aussi égaux et pour ça on va utiliser ce conseiller sur les droites parallèles et les droite c'est quand si je continue ces deux segments comme ça et que ça devient des droites segment aussi devient une droite comme ça tu imagines que ces droits de continue encore et encore eh bien ces deux droites sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux horizontales maintenant tu vois que notre droite de départ cette droite là est une droite c'est quand de ces deux droites parallèles quand on a comme ici une droite qui coupent deux autres droite qui sont parallèles on a des angles correspondant ces deux angles ici sont des angles correspondant et comme ils sont formés par une droite c'est quand tu as deux droites parallèles ils ont la même mesure donc ces deux angles sont égaux alors savoir que ces triangles ont ces deux angles égaux ça suffit pour dire que ces deux triangles sont semblables puisque la somme des angles d'un triangle c'est toujours 180 degrés mais juste pour s'amuser on peut continuer montré que ces deux angles ici sont aussi égaux alors en continuant ce segment et celui ci on voit bien que c'est de droite sont parallèles puisqu'elles sont toutes les deux verticales et même chose ici cette droite est une droite c'est quand de ces deux droites verticale est donc cet angle correspond à cet angle et donc bien sûr ces deux angles sont égaux puisqu'ils sont formés par une droite c'est quand tu as deux droites parallèles on a bien tous les angles de ce triangle sont égaux aux angles de ce triangle donc ces deux triangles sont semblables ces deux triangles sont des triangles semblables et disons que ce triangle c a b c est que celui là c d e f on sait que comme ces deux triangles sont semblables leur côté sont proportionnelles et donc les rapports entre deux côtés correspondants sont égaux on peut donc écrire que ab donc cette distance-là sur bc cette distance là c'est égal à d e cette distance-là sur le f cette distance là et ce ratio est bien c'est la définition même de la pente c'est la variation de y sur la variation de x