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Caractérisations de triangles semblables

Transcription de la vidéo

on va se donner un triangle par exemple triangle a baissé comme ça a b c et puis on va donner par exemple ses angles ici on sait qu' il ya un angle de 30 degrés ici ici cet angle en b c'est un angle de 90 degrés et celui ci c'est un angle du coût de 60 degrés alors on va réfléchir dans cette vidéo sur les conditions qui font qu'on peut dire qu'une qu'un autre triangle est semblable à celui ci alors on avait déjà vu que si on avait un 2e triangle à côté quand je vais dessiner comme ça x y z si on sait que ce triangle à trois angles égaux à trois ans de même mesure que le triangle abc par exemple ici serait l'angle de 30 degrés ici un angle de 90 degrés est ici un angles de 60 degrés eh bien on sait que dans ce cas là les deux triangles ils sont semblables puisque c'est exactement ça qu'on avait défini comme similarité de deux triangles c'est à dire qu'un triangle qui de triangle qui ont la même forme c'est à dire qu'ils ont trois angles et gow 2 à 2 ce sont des triangles semblables donc on peut à ce moment là quand on a trois angles et gow 2 à 2 on peut dire que abc et x y z sont semblables ils sont semblables alors faut faire attention quand on nomme les sommets à bien nos mails et les sommets dans le bon ordre pour que les côtés ce correspondait pour qu'on sache quel angle correspond à quel angle ici l'angle en a c'est celui qui veut mesure 30 degrés donc on retrouve en x ici donc le sommet a correspond au sommet x le sommet baisser celui où il ya un angle de 90 degrés on retrouve ici en y donc le sommet b correspond à y et puis le sommet s'est il ya un angle 60° qu'on retrouve ici en z donc le sommet c'est correspond au sommet z dans le 2ème triangle donc effectivement là on a bien nommé les sommets dans le bon ordre et ça permettra de travailler après sur la similarité de ces deux triangles voilà ça c'était une des premières 11 alors maintenant la question que je voudrais me poser c'est de savoir si on a besoin de montrer que trois angles sont égaux 2 à 2 pour dire que deux triangles sont semblables voilà est ce que par exemple deux angles ça ne suffirait pas alors je vais faire un triangle je dessine et un triangle comme ça à côté voilà et je veux dire que par exemple je sais que cet angle là on le retrouve ici la même mesure que celui qui est ici et je sais que cet angle qui est là il a même mesure que l'angle qui est ici en b alors dans ce cas là est ce que je peux en général dire que ce petit triangle vert est semblable à celui ci a baissé que je le grand qui est ici et bien en général oui puisque effectivement si on connaît ces deux angles là de toute façon là dans un triangle quand on connaît deux angles on connaît forcément le troisième puisqu'il suffit de faire 180 mois la somme de ces deux 180° mois la somme de ces deux angles là pour trouver la valeur de celui-ci donc là par exemple si je je vais mettre des valeurs numériques ainsi si j'ai trente degrés est ici 90 degrés par exemple eh ben je sais que nécessairement l'ongle qui est ici l'angle qui est ici là et bien c'est alors 90 + 130 ça fait 120 donc locle angle qui est ici en que j'ai noté avec un arc jaune c'est 180 degrés - 120 degrés c'est à dire 60 degrés et donc effectivement si on sait que ces deux angles là ont la même mesure que les deux angles du triangle abc et bien nécessairement le troisième il aura aussi même mesure que le troisième angle du grand triangle donc voilà en fait quand on doit démontrer que deux triangles sont semblables c'est pas la peine de se fatiguer aller chercher trois angles et gow 2 à 2,2 anglais égaux ça suffit largement donc ça je vais noter ici alors si je sais que deux angles sont égaux 2 à 2 alors les deux triangles sont semblables voilà et puisque effectivement il suffit d'appliquer et la somme des angles dans un triangle pour trouver la valeur du troisième et on sait que dans ce cas là le troisième angle aura la même mesure dans les deux triangles c'était il ya une autre chose qu'on sait sur les triangles semblables c'est que si deux triangles sont semblables alors les rapports des longueurs entre les côtés correspondantes sont tous les mêmes donc ça je vais je vais préciser donc je vais faire un petit triangle voilà je dessine un triangle et je vais nommer ses sommets alors ixe et xe à c y et ça ces aides est donc dire que les triangles les triangles abc et x y z sont semblables ça implique que les rapports alors je vais utiliser un que des couleurs pour repérer les côtés correspondant donc en bleu je vais mettre le côté xy et le côté correspondants dans le triangle abc c'est le côté ab ici voilà alors le premier rapport du coup que je peux écrire c'est x y sur ab et donc est le deuxième alors le je vais prendre du orange pour donner pour noter le 2e 2e côté alors ça c'est le côté x y z pardon que je retrouve ici dans le côté baissé qui correspond côté baissé dans le premier triangle donc ça c'est ça doit être égale à y z sur y z surbaissé alors attention à bien se faire correspondre les côtés correspondants mais aussi attention à bien toujours prendre les choses dans le même ordre c'est à dire que on prend toujours le petit le plus petit / le plus grand ou bien toujours le plus grand / le plus petit donc ici je ne j'ai commencé toujours par le les côtés du plus petit triangle et comme dénominateur j'ai toujours été chercher les côtés du plus grand triangle alors maintenant il me reste le côté en jaune ici assez qui correspond à aigai z dans le petit triangle donc ça ça doit être égale à x z sur ac voilà donc dire que le triangle a baissé et le triangle x y z sont semblables ça veut dire que ces trois rapports de longueur sont égaux et inversement si ces trois-là gras port de longueur sont égaux on peut en déduire que les triangles sont semblables alors je vais faire un petit exemple numérique par exemple ici cissé on va dire 30 racines de 3 ici ça va être 30 est ici 60 et si la g3 ici 6 et ici trois racines de 3 donc le premier rapport xy sur ab alors xy sur ab ça fait 1 10e ça c'est un dixième y z surbaissé ça fait 3 sur 30 ça fait un dixième aussi et puis x z sur ac c'est 6 sur 67 aussi un dixième donc on voit que ces trappes trois rapports là sont égaux donc ça c'est une preuve une chose que je vais noter ici si on a des rapports trois rapports de longueur et go alors les triangles sont semblables c'est les rapports de longueur ego de côté correspondant évidemment alors on demande pas que les côtés soit ego en demandent que leurs rapports sont égaux c'est à dire que finalement l'un conques on passe d'un côté aux côtés correspondant à chaque fois en multipliant par le même nombre ici c'est un dixième pour passer de ab haïssent y ont multiplié par 1 10e pour passer de baisser y z ans multiplie par 1 10e et pour passer de assez agréable c'est dans multiplie par un dixième ce qu'on pourrait voir aussi dans l'autre sens pour passer de x za assez ans multiplie par 10 pour passer de xy à ab ans multiplie par dix et pour passer le y z a baissé on multiplie par 10 voix là alors maintenant on va on va regarder un autre cas possibles on va se faire c'est donner un autre triangle a baissé voilà pas très joli voilà triangle a b c et on va essayer de construire un autre triangle x y z mais avec des contraintes qui sont celles là je vais les donner ici par exemple on va on va dire que x y c'est qu'à x ab je vais le faire plus grand ça pourrait être plus petit 1 c'est xy sur ab est égal à un certain nombre cas alors sica est plus grand que 1 ça veut dire que x y sera plus grand que abc qui est plus petit que 1 c'est à dire que x y sera plus petit que ab donc ce sera une réduction alors donc je sais que xy sur abc tes gars là qu'à ça c'est x y et je sais aussi que cette longueur la bessée et la longueur qui est là je veux la dessiner en jaune pas très joli je sais que y z surbaissé y z surbaissé c'est aussi égal à cas et je sais une troisième chose c'est que l'angle qui a ici dans le sommet b et bien je le retrouve dans le sommet y voilà alors je vais et je sais une troisième chose c'est que l'angle qui est ici dans le sommet b je le retrouve ici dans le sommet y voilà donc ça c'est les conditions que j'ai ces deux rapports de longueur sont égaux xy sur ab est égal à y z surbaissé donc ces deux longueurs à b et b c ont été agrandis ou réduite de la même manière dans l'autre triangle x y z et puis on a ce même angle alors dans ce cas là est ce que est ce que les triangles seront semblables je veux faire un prêt 1 pour délimiter tout ça est ce que les triangles seront semblables et bien si on y pense oui parce que en fait il ya plus qu'une seule possibilité pour compléter le triangle c'est d'aller comme ça de y à z est donc là on se rend bien compte que ce triangle sera complètement semblable à l'autre donc en fait la seule possibilité c'était bien ça pour construire le le côté x z c'est c'est la seule possibilité qui a est en fait le rapport x z sur ac sera le même que le rapport xy sur ab écart exode surbaissé donc les triangles seront semblables donc voilà on peut écrire ça aussi si on a deux rapports de rapports de longueur et go et un angle entre ses côtes et je l'écris comme ça bon faut faire attention à pas confondre avec ce qu'on savait sur les dents le cadet des triangles isométrique les caractérisations de triangle gh isométrique 1 c'est ici en demande pas que les coups les longueurs soit égal 2 à 2 que les côtés et même longueur 2 à 2 et que l'angle entre ses côtés soirée la même mesure on demande que les rapports qui est deux rapports de longueur égaux et que donc ces deux là par exemple a b x y et ab sur xy pardon et baissé sur y z et l'angle entre ces rapports l'a donc l'angle entre les côtés qui interviennent dans les rapports ego et bien ça doit être un angle de même mesure est bien dans ce cas là les triangles sont semblables attention parce que là on ne parle pas d'égalité de longueur mais on parle d'égalité de rapports de longueur alors je vais faire je fais un petit exemple un pour appliquer ça si on a par exemple un triangle ici dont on connaît les mesures de deux côtés alors ce côté là ça va être trois celui-là 2 et celui là 4 et admettons qu'on est à côté un autre triangle alors et qu'on sache que ce côté là où la sphère 9 ce côté là va faire six et qu'on sait et on sait aussi que cet angle ici on le retrouve là elle cet angle d'entre ses côtés la c2 englon même mesure et bien à ce moment là d'après ce qu'on vient de voir on peut absolument affirmé que ces deux triangles là seront semblables et en fait la seule possibilité pour compléter le triangle c'est bien de le fermer comme ça et en ce moment là on peut déterminer que la longueur qui est ici la longueur qui est ici c'est 12 ici est en fait regardez bien ce qui s'est passé c'est que on n'a pas deux ans n'a pas dit que le côté là ce côté de la même longueur que celui ci nie que ce côté ci est même longueur que celui là on a simplement dit que tous les côtés de ce triangle s'ils sont obtenus en agrandissant ou en réduisant de la même façon par le même facteur à partir des correspondait côté correspondant du premier triangle donc là ce qui c'est sur ces deux triangles semble sont semblables et ils ont décoté obtenu tous de la même manière en agrandissant ou en rayon réduisant les côtés du triangle initial ici c'est un agrandissement par trois ans on a multiplié par trois à chaque côté alors par contre si j'avais par exemple un triangle comme ça avec un côté alors je vais le faire en gris avec un côté qui mesure 9 un côté qui mesurent 4 ici et puis un angle de même mesure que celui ici en bleu là est en fait là je pourrais pas dire que le triangle que ce triangle ci est semblable aux deux autres puisque ce côté là mais il est obtenu à partir de celui-ci en agrandissant en multipliant par trois alors que celui ci il est obtenu à partir de celui là en multipliant par deux ce qui est pas du tout la même chose donc les rapports de longueur ne sont pas les mêmes donc celui ci il n'est pas du tout isométrique aux deux autres voilà alors maintenant on peut aussi étudier ce cas là par exemple le cas où on a deux côtés qui sont obtenues de la même manière donc ici par exemple un côté de mesure 1,9 et à côté de mesures 6 mais ici on n'a aucune indication sur l'angle bien là comme tout à l'heure on pourrait pas dire que ce triangle ci est semblable aux deux autres puisque en fait là dans ce cas là on n'a pas assez de contraintes sur ce 3ème côté qui pourrait être qui pourrait être plus ou moins long selon selon l'angle qu'on a ici donc cette configuration là n'est pas suffisante non plus à dire que le triangle semblable deux autres alors si on se rappelle un petit peu ce qu'on avait vu comme caractérisation possible pour l'iso mettrie de triangle on avait vu qu'il y avait le cas où on avait deux angles ego et puis le côté adjacent à ces deux angles le cas aussi où il y avait deux angles ego et un autre côté d'eux mêmes mesures mais en fait dans le cas de la similarité on n'a pas besoin de tout ça puisque on a déjà démontré que de toute façon il suffit qu'ils aient deux angles ego pour deux anglais co2 à deux pour que les triangles sont semblables donc finalement voilà les trois possibilités les trois caractérisation possible plus simple que les trois ans de lego 2 à 2 qui permettent de dire que des triangles sont semblables