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Démonstration que la racine carrée d'un nombre premier est un nombre irrationnel

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va montrer que si on prend un nombre premier qu'on va appeler paix et ben sa racine va forcément être un nombre irrationnel comme quand on l'avait démontré pour racine de deux on va le faire par l'absurde c'est à dire qu'on va commencer par supposer le contraire en l'occurrence que la racine de paix est un nombre rationnelle et on va montrer que ça nous conduit à une contradiction dont racines de paix est un monde rationnel qu'est ce que ça veut dire ça veut dire que je peux écrire racines de paix sous la forme d'un rapport entre deux nombres entiers que je vais appeler a et b et je vais faire une hypothèse supplémentaire qui fait assez important dans cette démonstration est que cette fraction et déjà simplifier c'est qu'elle est déjà sous une forme réduite aux irréductibles et une autre manière de dire ça c'est dire que a et b son premier entre eux ça veut dire qu'ils n'ont pas de facteur en commun que si il y avait un nombre par lequel je pouvais divisé à la fois a et b pour simplifier cette fraction mais je les ai déjà fait a et b c'est déjà une version simplifiée donc péril pour illustrer sa on peut montrer quelques exemples donc là par exemple si je prends la fin de la fraction 642 mais je peut diviser en haut et en bas par six pour trouver un septième un septième c'est la forme réduite un essai de son premier entre eux 6h42 n'est pas réduite pareil pour 25 sur 60 et 20 la verse et l'afld la forme réduite ou simplifier cette fraction c'est 5/12 je divise par cinq en haut et en bas pareil pour 34 sur 51 qui est un peu plus rigolote donc là j'ai à la fois 34 51 ont un facteur en commun qui est 17 jeu peut se diviser par dix sept ans et on devrait trouver deux tiers qui est donc la forme réduite 2 et 3 son premier entre eux donc là allez on peut cacher ces quelques exemples donc on commence par une fraction simplifiée assure b très bien et ben si racines de paix et gala sur but je peux mettre tout ça au carré et donc grâce in2pay au carré ça fait p égal à sur b le tout car et c'est tout simplement à au carré sur bo carré je peux multiplier des deux côtés par b carrés ce qui me donne des carrés x p est égal à au carré autrement dit à au carré est multiple de paix ah oui des carrés est un entier a caressé un entier fois paix dont kkr est multiple de paix avant de continuer là on va se réfère à une autre règle on entend on va avoir besoin ici qui est que n'importe quel nombre entier peut s'écrire comme un produit de nombres premiers donc ça s'appelle la décomposition en facteur premier donc encore une fois on peut l'illustrer par quelques exemples donc je prends par exemple si ça peut s'écrire sous la forme 3 x 2 3 et 2 temps des nombres premiers pareil pour 24 eh ben je peux l'écrire sur la forme 3 x 2 x 2 x 2 donc c'est bien un produit de nombreux premiers donc plusieurs de ces normes premiers peuvent être identiques 1 c'est pas grave c'est quand même décomposable en nombres premiers quarante deux pareils ça va être cette fois trois fois deux à la fois 7 3 et 2 son premier donc là c'est juste pour illustrer que cette règle de décomposition facteur premier est bien cette fameuse règle eh ben on va l'appliquer à aa donc si on l'à pic à 1 on va dire à est égal on va choisir la bonne couleur tant qu'à faire un produit de nombreux premiers comme on les appelle aussi des facteurs je vais ici utilisé donc la lettre f bon je sais pas combien il y en a donc je vais les appeler f1 fois f2 fois f3 et ses x f haine donc je sais pas quel est ce nombre n 1 combien il y en a mais bon c'est une manière un peu de montrer que je décompose ça alors si à ces cris sous cette forme-là ce produit de facteurs qui sont tous premiers alors je peux écrire à carrer sous la forme donc de f1 fois f2 et cmn donc je me dis une petite parenthèse ici fois la même chose c'est-à-dire f1 fois f2 etc et flaine ou en changeant l'ordre parce que j'ai le droit c'est que démultiplier ici dont kkr et ça vaut f1 fois f1 foire f2 fois f2 et ses x fn fois fn or pay est un nombre premier donc c'est forcément l'un de ces nombres premiers là qu'on appelait des facteurs pour à carrer parce que kkr est multiple de paix à carrer multiples de ppr à nombres premiers une fois que j'ai des composés à carhaix avec c'est de cette manière là avec ses nombreux premier l'a forcément paix va se retrouver parmi ces nombres premiers donc là j'en prend 1,3 à reims a peut être est ce un f2 fn je sais pas disons que c'est f2 par exemple à on va dire que lui cp s1 je rappelle ça vient du fait que à carrer multiples de paix mais je me rends compte que six pay fait partie des facteurs promis de akkar et se f 2 je retrouve aussi dans as et ce f2i vaupés et ben harper se retrouve aussi dans les facteurs mier 2 1 donc si à carrer multiples de paix ep premier et ben forcément à est aussi multiple de paix est là en fait c'est une étape important de la démonstration je vais l'encadrer paix est un facteur premier de la mtv de paix alors notre manière de dire que à multiples de paix ça veut dire que je peux écrire à sous la forme quand une fois choisir les bonnes couleurs à égal un certain nombre je vais appeler cas x p je peux prendre cette égalité là elle a réinjecté dans cette équation ici ça va nous donner des carrés x p égal à au carré à au carré c'est quoi ces cars fois paix au carré et là tu me vois un peu venir un ce cap et le tout car eh ben je vais aussi je peux aussi l'écrire sous la forme qu'a au carré fois et au carré je peux simplifiée en divisant par p des deux côtés l'égalité ce qui me donne des au carré égale chaos carrez rappelle que cas est un entier dont kkr elle est aussi x p autrement dit des carrés et multiple de paix et on peut utiliser le même raisonnement qu'on a utilisées en aussi pour montrer que si des cars est multiple de paix alors b est aussi multiples de paix et là c'est intéressant parce que si je regarde les deux propositions que j'encadrais à un multiple de p b multiples de paix ça veut dire que paix est un facteur commun entre a et b et donc a et b ne sont pas premiers entre eux que je peux danser dans cette fraction ici / paix en haut et en bas et donc je peux encore simplifier cette fraction en divisant par paix en haut et en bas et donc elle n'est pas irréductible a et b ne sont pas premiers entre eux donc là on a une autre contradiction on part de l'hypothèse que c'est une fraction simplifiée et donc est on est on arrive à montrer qu'en fait forcément on a un facteur commun entre a et b donc on a une contradiction racines de paix n'est pas rationnel racines de paix et irrationnel