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Démonstration qu'il y un nombre irrationnel entre n'importe quelle paire de nombres rationnels

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va montrer qu'il ya toujours un nombre irrationnel entre de nombreux rationnelle donc là on va essayer de dessiner ça on imagine de rationnel je vais les appeler r1 et r2 donc seule chose qu'on veut faire ici si on va juste prendre un air de supérieur à eyrein aucun ce c'est juste pour les avoir dans l'ordre donc là c'est n'importe quel de rationnel et ce qu'on veut montrer c'est qu'il ya forcément quelque part entre les deux lits 6 1 il rationnel alors là on peut commencer par le montrer par exemple pour ban de rationnel particulier qui s'appelle 0 est un bon qu'au lieu de démontrer sa entre r1 r2 on va commencer par un cas plus simple on va commencer par 0-1 donc il y à un irrationnel entre 0 et 1 ses cris comment ça s'écrit sous cette forme-là l'anc en azéri inférieurs à un certain irrationnelle qui lui même devra être inférieure à 1 alors et si on trouvait c'est irrationnel dans fait 6 francs par exemple annonce comme un sur racine de deux kivu aussi racines de 2 sur 2 et ça c'est approximativement égale donc on peut essayer de regarder les les décimales de ce nom cc 0,7 0,7 1 0678 et c'est donc en fait il va pas y avoir de période ou de motifs de deux chiffres qui se répète ça va être un nombre irrationnel pour s'en convaincre on peut se rappeler un petit peu des règles qu'on a déjà vu dans d'autres vidéos sur les les produits et somme de nourrir rationnelle et non de rationnel là on a un racines de 2 sur 2 c'est à dire que c'est un nombre irrationnel racines de 2 x 1/2 qu' un nombre rationnelle et là on va c'est de ceux de se remettre un petit peu les règles en tête donc là quand je regarde cette règle à un rationnel fonds à l'irrationnel ces deux là ni rationnel donc un sur racine de deux c'est bien et rationnelle et si aussi entre 0 et 1 donc là je peux venir dire que entre 0 et 1 j'ai bien ni rationnel qui est un sur racine de 2 ce que je vais faire maintenant c'est que je vais venir modifier cette inégalité en multipliant ajoutant des choses pour se retrouver avec une égalité qui commence par r1 ici et qui finit par r2i 6 1 alors pour faire ça gêne une égalité ce que je peux faire à ce stade là c'est par exemple multiplié par la quantité kiki et r2 - r un bon voila si je prends cette inégalité jeu-là multiplie par air 2 - 1 r1 donc comme r2 est supérieur à hérin alors cette quantité là et les positives il faut mieux que ça ça c'est positif et donc les inégalités ne change pas de sens donc là on va commencer par 0 froid r2 - emmerin ça ça va rester 0 c'est plus petit que 1 sur racine de 2 x on va prendre les airs une couleur un air 2 - r1 et le tout est plus petit que 1 x r2 - r1 c'est-à-dire r2 - hertha et là je peux venir encore une fois à faire une autre opération sur cette inégalité pour pour pour la rapprocher donc de r2 d'un terrain d'un côté air de l'autre ce que je peux faire ici c'est ajouter hérin aux trois termes de cette inégalité donc ainsi la le la nouvelle transformation c'est plus sain ça me donne quoi ça me donne zéro plus hérin ça veut dire r1 est plus petit que 1 sur racine de deux fois r2 - r1 plus serein donc là c'est le plus que j'ajoute que j'ajoute dans les trois termes de l'inégalité qui lui-même doit être plus petit que r2 - r un plus hérin là on voit bien que ça simplifie là je retrouve bien mon r1 de ce côté on her 2 de ce côté et entre les deux j'ai une expression qui est un sur racine de deux ça c'est un irrationnel foire r2 - r1 alors air de moins et reims et une somme de rationnel donc elle est rationnel on est d'accord donc ça c'est un rationnel si je le multiplie par ainsi rassure sur racine de 2 qui est un irrationnel ça va me donner un irrationnel donc ça c'est un nid irrationnel ici je prends la somme d'1 irrationnelle et d'un rationnelle 1 je peux regarder cette règle ici ça me dit que tout ce qui est à l'intérieur ici est forcément irrationnelles donc en partant d'un exemple d'irrationnel entre 0 et 1 et en faisons deux opérations sur cette inégalité j'arrive à retrouver mon hérin d'un côté - air de l'autre c'est à dire qu'entre deux rationnelle quel qu'il soit il suffit que est deux fois plus grand que r11 dans ce cas là eh ben il y as forcément un irrationnel