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Une racine carrée est-elle toujours un nombre irrationnel ?

Transcription de la vidéo

on va essayer dans cette vidéo de faire un certain nombre d'exemples de simplification de racine carrée et on va discuter un petit peu de la nature rationnelle ou irrationnelle de ces de ces différents rapports donc on va commencer avec un exemple tout simple racine carrée de 25 et racine carrée de 25 on le sait on peut le faire dans notre tête 25 c'est égal à 5 fois 5 on a 5 x 5 1 à racine carrée et selon la définition racine carrée de 5 x 5 c'est égal à 5 5 c'est un monde entier donc c'est un nombre rationnelle continue en faisant un autre exemple tout de suite prenant racine carrée racine carrée de 24 alors une façon de simplifier cette racine carrée ça va être de prendre par exemple la simplification en facteurs premiers 24 c'est égal à 2 x 12 j'écris 12 i xi xii c'est égal à 2 x 6 et 6 c'est égal à 2 x 3 j'ai donc racine carrée de 24 que je peut réécrire comme étant la racine carrée de 2 x 2 je vais les mettre ensemble puisque il s'agit d'un carré x 2 x 3 le tout à la racine carrée et ça c'est égal grâce aux propriétés des racines carrées c'était galade racine carrée de 2 x 2 x la racine carrée de deux fois trois racines carrées de 2 x 2 on sait ce que c'est c'est égal à 2 et ici on ne peut pas simplifier on peut pas réduire plus cette racine carrée donc on va écrire 2 x la racine carrée de 6 et maintenant si on se pose la question de savoir si cette multiplication et rationnelle ou pas et bien un nombre à sionnel va être un angle qui va pouvoir s'écrire comme un rapport de nombre de nombres entiers par exemple 5 c'est égal un rapport de st / 1 c'est donc un nombre rationnelle 2 x 6 racing 2 6 et bien dans ce cas on va se servir du fait qu'on sait que les racines carrées de tous les cars est parfait sondés nombre irrationnel donc si ce n'est pas un carré parfait donc racine carrée de 6 c'est irrationnel et un nombre irrationnel x un nombre entier eh bien ça reste un nombre irrationnel donc de nous doubler par racine de 6 est différent ne peut pas être égal à un rapport de nom d'un nombre entier sur un autre monde entier est née n étant tous les deux des nombres entiers donc 2 x racines de si ce n'est pas rationnel continuons avec un autre exemple en prenant racine de 20 alors encore une fois racines de 20/20 on peut le factoriser en en premier on a 2 x 10 et 10 est égal à 2 x 5 on va réécrire racine carrée de 2 x 2 x racine carrée du pied par racine carrée de cinq façons carré de 2 x 2 c'est égal à deux fois racine carrée de 5 on est si on écrit la décomposition complète mais on peut très bien voir si on va rapidement dans la tête on peut voir que non c'est égal à 4 fois 5 racine carrée de 4,7 égale à 2,5 on peut aller un petit peu plus vite mais ici on fait la méthode brut donc comme dans l'exemple précédemment 2 x racines de 5,5 étant un nombre premier la racine carrée dans mon premier est irrationnel multiplie par 2 ce nombre est irrationnel continuons tout de suite avec quelques autres exemples prenons pour continuer par exemple racine carrée de 200 c'est une canne de sang comme tout à l'heure on va faire la factorisation en nombres premiers 200 c 2 x 500 c 2 x 50 50 c'est égal à 2 x 25 et 25 c'est égal à 2,5 pardon 5 x 5 donc ici on voit qu'on a deux nombres qui se répète deux fois même 3 2 on réécrit tout de suite notre racines de 200 comme étant la racine carrée de 2 x 2 c'est un premier paquet fois de multiplier encore une fois par 5 x 5 rallonger un peu ça et ce racines de 2 x 2 eh bien ça vaut deux les racines de 5 x 5 ça vaut 5 aussi on n'a donc pas réécrire complètement racines de deux fois deux fois racine de deux fois racines de 5 x 5 et ça me donne 2 x 5 égale à 10 fois racines de deux frères là encore une fois on a racines de 2 qui est un nombre irrationnel x un monde entier ça reste un nombre irrationnel prenons un autre exemple tout de suite prenons par exemple racines de 2000 racines de 2000 toujours la même logique on va factoriser en facteur de nombres premiers 2000 donc 2007 égale à 2 x 1000 milles c'est égal à 2 x 500 507 égale à deux fois 250 250 c 2 x 125 125 c'est égal à 5 x 25 et 25 7 égalable 5 x 5 donc reportons 7 factorisation sous notre racines signe de racine carrée donc j'ai la racine carrée de 2 x 2 x la racine carrée de 2 x 2 x 5 x la racine carrée de 5 x 5 je prolonge montré et je peut remarquer donc avant de développer ça j 6 2 x 2 4 x 2 x 2 4 donc je réécris mes racines en est la racine de 4 x 4 qui vient de 90,4 ici x racines de 5 x racines de 5 x 5 est la racine de 4 x 4 racines de quatre carrés c'est égal à 4 racines de 5 x 5 c'est égal à 5 aussi j'ai donc pour résultat 4 x 5 20 x racines de simples et sur l'état et irrationnel 5 racines de 5 et un irrationnel x 20 sar est irrationnel il nous reste encore cinq petits exemples à faire continuons prenons la racine de 1 / 4 alors un divisé par quatre un signe c'était bien la racine de 1 / racines de quatre et ça c'est très simple racing ii 4 on connaît quatre c'est un carré parfait donc c'est égal à 2 racine carrée de 4 c'est égal à 2 et racine carrée 2 1 c'est égal à 1 ce nombre étant la fraction de deux nombres entiers et bien évidemment rationnelle continuons avec un autre exemple fascine 9 divisé par quatre à six l'arrêt de 9 18 par 4 c'est égal à la racine carrée de 9 / la racine carrée de 4,9 et 4 on les reconnaît tout de suite son 2 carré parfait encore racine carrée de neuf c'est égal à trois puisque trois quarts est égal à 9 racine carrée de 4 est égal à 2 3 / 2 et en une fraction de deux nombres entiers c'est donc bien sur un nombre rationnel on va encore continuer cette fois ci on va prendre un nombre décimal prenons la racine carrée de 0,16 alors je reviens 1016 on peut si on est malin et qu'on reconnaît on peut se dire que 0 4 x 10.4 c'est égal à 0.7 bon et alors tout de suite on peut réduire mais on va faire un peu la façon générale comme simon n'avait pas remarqué hongroise 0.16 à zéro la racine carrée des richesses est égale à la racine carrée de 16 / sens et ça c'était galère racine carrée de 16 / racine carrée de sang et là encore on a 2 carré parfait 16 c'est le carré parfait de 4e 4 4 ça vaut 16 donc racine carrée de 16 c'est égal à 4 et racine carrée de sang sont le sel c'est égal à 10 10 soit 10 et égalera sens j'ai donc à 115,16 qui est égal à 4 sur 10 encore une fois c'est un nombre rationnelle prenons maintenant l'exemple de racine carrée de 0,1 c'est une carré de 0,1 c'est égal à la racine carrée de 1 / 10 ça c'était bien là un racine carrée de 1 / racine carrée de 10 et c'est égal à 1 / racine carrée de 10 racine carrée de 10 10 non ça ne peut pas simplifié de 10 est égale à deux fois cinq on peut pas le simplifier plus mais en général on n'aime pas vraiment avoir une racine sous le trait de faction il faut toujours éviter de faire ça donc ce qu'on fait dans ce cas là pour pouvoir enlever la racine carrée en dessous du trait de faction eh bien on peut multiplier par racine carrée de 10 en haut et en bas et dans ce cas on va avoir en eau un fois racine carrée de 10 donc là on à racine carrée de 10 et en bas on à racine carrée de 10 x racine carrée de 10 qui est égale à 10 bon dans les deux cas 1 / racine carrée de 10 ou racine carrée de 10 / 10 dans les deux cas ces nombres sont irrationnels prenons maintenant dernier exemple va prendre racine carrée de 0,01 et ça c'est égal à la racine carrée de 1 / 100 proprement c'était il ya la racine carrée de 1 / la racine carrée de sang et là c'est facile on reconnaît tout de suite que l'on la 1 et 10 en bas 10 au carré dans gala sans racine carrée de sang est égal à 10 nous voilà encore avec un nombre rationnelle