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Comment rendre un dénominateur rationnel 1

Transcription de la vidéo

alors ce qu'on va faire dans cette vidéo ça va être de rationaliser un dénominateur donc on va rationaliser rationaliser un dénominateur est ce que j'entends par là c'est que mettons qu'on ait une fraction 1 sur racine de 2,20 rationaliser le dénominateur de cette fraction de ce quotient ça va être de l'écrire d'une certaine façon dans laquelle on aurait un au dénominateur un nombre rationnelle donc un nombre qui n'est pas irrationnel comme les racines de 2 alors la première chose que tu pourrais me répondre c'est pourquoi ce que je dois à rationaliser un dénominateur bas alors t'es pas obligée en fait bien sûr que nantes est pas obligé mais c'est quelque chose qu'on fait dans la pratique parce que en fait c'est souvent plus pratique plus commode à utiliser que un dénominateur rationnelle qu'un dominateur irrationnelle par exemple imagine une fraction il faut juste voir que c'est le numérateur divisé en un certain nombre de parts et si ce nombre de parts et si tu doit diviser un objet en racines de deux ou en deux parts bien c'est pas la même chose on se représente c'est beaucoup plus parlant de diviser en un nombre entier de parts qui ont un nombre irrationnel de pars donc ce qu'on peut faire lorsqu'on a par exemple une fraction comme un sur racine de la seule la première chose à faire serait de la reprendre et de la multiplier par 1 on a le droit de la multiplie par un d'accord le symbole égale est valable mais ce 1 on va le transformer comme racine de 2 sur racine de 2t d'accord que racine de 2 sur racine de 2 c'est égal à 1 mais le fait de multiplier un par notre nombre ça va nous permettre de simplifier de transformer le dénominateur donc si on reprend le numérateur on va avoir un foie racines de deux racines 2 2 et au dénominateur on va voir racines de deux fois racines de deux mes racines de deux fois racines de demain qu'est ce que c'est c'est égal à 2 tout simplement et donc on à rationaliser notre dénominateur cette fois ci on a racines de 2 sur 2 qui était que donc égale à 1 / racines de 2 les racines de 2 sur 2 et bien c'est un petit peu plus parlant on prend racine de 2 qui est à peu près égale à 1,41 et c'est je crois et on le divise par deux c'est beaucoup plus parlant et c'est aussi beaucoup plus pratique à manipuler alors on va prendre un autre exemple maintenant prenons par exemple 7 / racines de 15 signe de 15 pourquoi pas eh bien on va faire la même chose que précédemment on va prendre 7 / racines de 15 et on va le multiplier en haut et en bas par racine carrée de 15 racine carrée de 15 sur racine carrée de 15 est égal à 1 donc j'ai le droit de faire ça et on peut réécrire ici cette fois ci cette fois racine carrée de 15 au numérateur cette fois racine carrée de 15 et au dénominateur qu'est ce qu'on va voir on va avoir racine carrée de 15 x racine carrée de 15 sa ça va être égal tout simplement à 15 alors je vérifie au passage que 15 peut pas être décomposée en un produit de nombre dont un carré parfait et 15 c'est trois fois 5 3 et 5 sont tous les deux premiers donc on pourra pas réduire plus racine carrée de 15 donc on le laisse comme ceci donc voilà deux exemples très facile pour commencer à voir ce que c'est que rationaliser un dénominateur mais maintenant on va essayer de pousser ça un petit peu plus et de voir comment ça se passe avec des cas un petit peu plus compliqué donc je te propose de prendre par exemple 12 / 2 - racines de 5 et alors là c'est un petit peu compliqué si on va un petit peu trop vite qu'est ce qu'on va faire si on va un peu trop vite on va se dire bon ben on fait comme avant on multiplie en haut et en bas par racine de 5 alors je vais le faire rapidement pour te montrer comment est-ce que ça ne marche pas pourquoi ça ne marche pas dans l'objectif qu'on a on peut faire ça mais bon ça va pas servir à grand chose même si on peut le faire dans l'absolu ici on a 2 - racine carrée 2,5 donc on a une soustraction on va avoir au numérateur foire racine carrée de 5 et en bas on va devoir développer notre racine carrée de 5 chacun des membres de la soustraction à 2 et racine carrée de 5 donc j'ai deux racines carrées de 5 moins bien racine carrée de cinq fois racine carrée 2,5 donc 5 - 5 mai ici j'ai toujours un nombre irrationnel le numérateur et ce nombre sera donc irrationnelle sais donc pas ce que je voulais faire au départ donc je vais barre et ça c'était pas l'objectif est donc pour réussir à faire ce qu'on voulait faire et 20 il va falloir plancher un peu dans ses souvenirs et repartir aux identités remarquables des identités remarquables te souviens-tu des aprilia longtemps on avait c'est celle qui nous ici qu'est ce qui se passe si on a plus b au carré à quoi c'est égal alors ça c'est la première on va utiliser la troisième la troisième identités remarquables elle nous disait que si on avait à au carré - b au carré ça c'était et gala à - b facteur de a + b eh bien on va utiliser ça pour pouvoir simplifier notre 12 / 2 - un signe de sa qui est alors puisque en fait on a identifié que 2 - racines de 5 ça peut se mettre sous la forme de à - b et si on le multiplie par son a + b à lui on va avoir à ou carrément bu au carré on a un quart et on va pouvoir se débarrasser de notre racines 2,5 donc faisons le tout de suite 12 / 2 - racine carrée de 5 x 2 plus racine carrée de 5 / 2 plus racine carrée de 5 ici on a notre un qui est écrit en blanc donc on va avoir au numérateur 12 on va développer 12dans de plus racine 2,5 donc deux fois 12 24 +12 fois racine carrée de 5,12 fois racines 45 et en bas on va avoir quoi en bas on va avoir à au carré - des au carré ici le 2 c'est le petit à racine carrée de cinq petits b donc à au carré ces gars-là 2 au carré dans 4 - racine carrée 2,5 au carré racine carrée de cinq ans car et c'est égal à 5 et donc on va avoir ici 4 4 - 5 ça fait moins 1 et donc si on reprend un petit peu tout ça ici on a moins un au dénominateur donc on va le faire passer devant on va avoir moins 24 - 12 racine carrée de 5 puisque j'ai développé le moins dans tous les membres du numérateur et j'ai pas réécrit le 1 et voilà le résultat simplifié où on à rationaliser notre numérateur puisque d'ailleurs on n'a même plus dominateur mais bon ça c'est un cas particulier de l'exemple et on tombe là dessus alors juste pour marquer encore une fois pourquoi est-ce que ça peut être intéressant et surtout important de d'avoir la convention de toujours rationalité le dénominateur imaginons que pour deux personnes doivent vérifier leurs calculs la première personne donc toi tu obtiens sain et puis un collègue à toi obtient sain et bien c'est difficile de remarquer à première vue comme ça que ces deux expressions qu'on la même valeur et en fait si on prend la convention de rationaliser le dénominateur on peut on obtiendra à chaque fois la même écriture et on pourra comparer notre résultat et dire c'est bon tout est bon donc voilà on va prendre un dernier petit exemple pour s'assurer que qu'on a bien compris donc je vais faire un petit peu de place maintenant ici pour notre prochain exemple donc on va prendre par exemple on leur met une variable cette fois ci on va prendre 5 y / de racines de y - 5 alors au passage y racine carrée de les grecs ce n'est pas c'est nécessairement un nombre irrationnel par exemple s'ils y et al 4 racines 44 c'est égal à 2 ce n'est pas irrationnel mais étant donné qui peut prendre d'autres valeurs il peut être irrationnel donc finalement ce qu'on va faire c'est tout simplement essayé d'enlever la racine donc enlever le symbole radical donc on y va et on identifie encore une nouvelle fois une écriture qu on peut écrire sous la forme de a - b ici on prend a et b et on va essayer de le multiplier par a plus b pour obtenir à au carré - b au carré donc on multiplie par 2 racine carrée de y + 5 / de racine carrée de y +5 donc il va falloir maintenant développer le numérateur au numérateur on va avoir d'une part 5 x 2 10 10 y x racine carrée de y +5 y x 5 donc 5 x 5 25 25 y est au dénominateur eh bien on va voir à au carré - b au carré à au carré ça va être de racine carrée de y au carré donc ça va être de au carré en a quatre et racine carrée de y au carré ça vaut y alors pourquoi y est pas valeur absolue des grecs parce que comme on sait que y ait nécessairement positif puisque 1 y négatif n'est pas possible racine carrée d'un homme négatif pour les nombres et elle ça n'est pas possible donc y est positif donc on n'a pas besoin de préciser la valeur absolue ça c'était une petite note qu'on avait vu dans une vidéo précédente et moimbé au carré donc moins 25 voilà on a quatre y moins 25 alors une fois une fois qu'on a cette expression et ben on a quasiment simplifier on pourrait ré écrire l'expression duo différemment il ya plusieurs façons de considérer qu'on a notre numérateur simplifier on peut on pourrait par exemple changer le symbole radical en une puissance fractionnaire et à ce moment là on aurait 10 x y y puis sens un foin y puissant saint denis racine carrée ces puissances ennemies donc un + 1/2 ça vaut trois demis donc on aurait y puissance 3/2 +25 y puissance 1 est à nouveau divisée par 4 y moins 25 donc là tu as un petit peu le choix pour écrire le numérateur de la forme que tu veux mais toujours est il qu'on a bien réussi à enlever le symbole radical de notes dominateur et c'était ce qu'on cherchait à faire