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Simplifier la racine carrée d'une fraction

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va s'entraîner à manipuler des expressions avec des racines des racines carrées ici est donc là j'ai choisi celle ci racine carrée de 1 sur 2 100 donc comme d'habitude mais la vidéo sur pause et c'est de simplifier cette expression alors en fait le truc principal ça va être d'essayer de faire apparaître un quart est là dedans car est parfait dans ce dans ce nombre là dans cette fraction alors la première chose qu'on peut faire c'est commencé par écrire que racine carrée d'une fraction c'est la même chose que la racine carrée du numérateur / la racine carrée du dden du dénominateur donc ici ça donne racine carrée de 1 / racine carrée de 200 voilà et donc ça a ses racines carrées de 1 c'est un donc finalement notre nombre racine carrée de 1 sur 200 c'est la même chose que 1 / k racine carrée de 200 donc maintenant on va surtout travailler sur ce nombre la racine carrée de 200 le dénominateur et on va essayer de faire apparaître un carré dans deux sens si on arrive à faire apparaître un carré dans 200 pourra simplifier ses traits cette expression là avec une racine carrée alors en fait pour faire ça je te conseille toujours ce petit schéma en arbre on va essayer de décomposer 200 dont 200 déjà on peut dire que c'est 2 x 102 x 100 et l'a peut-être que tu vois tout de suite qu'il y à là dedans un carré parfait puisque 100 en fait c'est dispo 10 donc ça veut dire que cette factorisation là elle est déjà utile pour simplifier cette racine carrée ou à le faire comme ça racine carrée de 200 du coup c'est la même chose que racine carrée de deux fois sans hélas on peut appliquer une propriété connu des racines caresser que quand on a la racine d'un produit et bien c'est lui c'est équivalent à prendre le produit d de racine carrée donc en fait ça ça nous donne racine carrée de deux fois racine carrée de sang et là du coup on peut simplifier ce terme est la racine carrée de sens et racine carrée de 10 au carré puisque sens est égal à 10 au carré 10 x 10 donc finalement racine carrée de sang c'est 10 et du coup la racine carrée de 200 et bien c'est disent je vais l'écrire comme ça dix fois racines de 2 on peut l'écrire aussi comme ça dix racines de deux c'est plus joli voilà alors mais évidemment bon ça c'est une méthode très rapide on pour exprimer racine carrée de 200 ça suppose que tu es reconnu ici dans sans un carré parfait le carré d'un nombre entier alors si tu ne remarque pas que sang est un carré parfait ça peut arriver tu peux aller un peu plus loin et développer un peu plus est ce schéma en marbre on va le faire ici donc sans tu peux par exemple continue à diviser par deux sans ces deux fois 50 en fait là tu essaies de te trouver la décomposition facteurs premiers de 200 et tu peux continuer 50 ces deux fois 25 là tu peux peut être remarqué que 25 c 5 au carré dont 25 c'est un carré et à ce mois ça peut déjà suffire tu pourrais arrêter là si tu vois pas que 25 est un quart est parfait tu peux continuer à décomposer ce nombre en cherchant ces facteurs donc 25 c'est pas divisible par deux c'est pas divisible par trois n'ont plus ni par 4 par contre c'est divisible par cinq donc tu vas avoir une autre branche là et 25 en fait c'est 5 fois 5 et à partir de ce stade là donc là tu as des composés un facteur premier le nombre 200 il faut que tu regardes si tu trouves des carrés dans cette décomposition alors ça veut dire qu'il faut que tu cherches les nombres qu'ils soient qui apparaissent au moins deux fois dans cet arbre alors il ya déjà ce2 qui apparaît ici deux fois qu'on a déjà ici à 2 x 2 et puis il y as eu 5 qui apparaît ici deux fois donc 5 x 5 alors maintenant je vais utiliser ces cars est que je viens de faire apparaître en fait on va reprendre un peu ce calcul là mais en le développant un peu plus ça sera un peu plus long mais ça permet de bien voir ce qui se passe donc racine carrée de 200 maintenant je vais l'écrire comme ça je vais prendre racine carrée et au lieu d'écrire 200 je vais écrire sur le produit de ces facteurs premiers mais je vais les écrire dans l'ordre où j'ai fait apparaître les quarts et donc j'ai déjà deux fois 2 ça correspond à ces deux facteurs qui sont ici ensuite j'essaie 5 x 5 ici donc fois encore 5 x 5 et puis me reste ce2 qui hélas celui là donc je vais leur ajouter ici x 2 voilà donc là je les écris dans un ordre qui m'intéresse pour faire apparaître les carrés donc ça maintenant je vais leur écrire comme ça je vais dire que ses racines carrées de 2 x 2 x la racine carrée de 5 x 5 5 x 5 et puis enfin x la racine carrée 2 2 voilà alors maintenant on va regarder chacun de ces facteurs ici donc le premier ici racine carrée de 2 x 2 racine carrée de 2 x 2 on sait que ces deux et de la même manière racine carrée de 5 x 5 et bien sa c5 et ensuite il reste sera cible de deux pour lequel on peut rien faire donc finalement on n'obtient que racine carrée de 200 et bien ces deux fois cinq produits de ces deux nombres l'a donc deux fois 5 l'écrire comme ça ça fait 10 x racines de deux et on trouve exactement la même chose que tout à l'heure alors cette méthode là est plus longue plus détaillée mais elle marche toujours et en fait ce qu'il faut que tu fasses si tu vois pas apparaître de carré parfait ça c'est beaucoup plus rapide mais ça suppose que tu remarques que 100 et le carré de 10 alors maintenant on n'a pas terminé on va revenir à notre expression donc on avait dit que racine carrée de 1 sur 2 100 c'était un sur un side car et de 200 maintenant on va remplacer racine carrée de 200 par la valeur qu'on a trouvé ici donc c'est un sur dix racine de 2,10 racines de 2 alors on peut s'arrêter là on a déjà pas mal simplifier le truc c'est que très souvent on préfère avoir les racines carrées au numérateur parce que quand on a des fractions le numérateur et quand même plus facile à manipuler que dénominateur donc on préfère en général avoir leur a des racines au numérateur co dénominateur lors si tu veux faire ça te débarrasser de ce racine carrée au dénominateur eh bien tu peux tout simplement x racine carrée de 2 / racine carrée de 2 donc là tu change rien au nombre ça tu multiplies parent ça change rien mais ça va changer l'écriture qui donne qui devient du coup je multiplie les numérateur 1 x racines de deux ça fait racines de 2 et puis au dénominateur je vais avoir dix fois racines de deux fois racines de 2 alors racines de deux fois racines de deux ça fait 2 x 10 ça fait vingt donc finalement on obtient cette simplification la racine carrée de 2 sur 20 1 sur racine carrée de 200 c'est égal à racine carrée de 2 sur 20 que tu peut même écrire si tu veux c'est un sur vingt fois racines de 2 voilà ça si tu veux tu peux faire ce pas supplémentaire en tout cas voilà ici on est arrivé à trois expressions qui sont plus simples il y avait celle ci un sur dix racines de 2 celle-ci racines de 2 sur 20 et celle ci un vingtième fois racines de 2