Produit ou quotient de deux puissances d'un même nombre

bonjour on va s'entraîner à faire quelques calculs avec des puissances donc je te propose déjà ce calcul l'a4 élevé à la puissance - 3 x 4 élevé à la puissance 5 alors mais la vidéo sur pause et on se retrouve une fois que tu réfléchis un petit peu donc effectivement ici ce qui est bien c'est qu'en fait dans les termes de notre produit qui est ici on a à chaque fois une puissance du nombre quatre donc en fait on peut appliquer la règle des puissances et du coup dire que ça c'est en fait 4 élevé à la puissance la somme des exposants donc moins 3 + 5 et du coup cas très élevé à la puissance - 3 + 5 - 3 + 5 ça fait deux donc ces quatre au carré donc ça fait 16 voilà c'est une application directe de la formule des puissances qui nécessite quand même de reconnaître qu'on a ici toujours le même nombre qu'on élève à une puissance donnée évidemment ça ne marche pas dans le cas où le nombre qui est élevé à la puissance n'est pas le même dans les deux termes du produit alors quand même ce qui est intéressant c'est d'arriver à comprendre pourquoi ça marche de cette manière là alors ce que je vais faire c'est que je vais réécrire ce terme là quatre élevé à la puissance - 3 en fait il faut pas oublier que c'est un sur quatre à l'élever à la puissance 3 1 sur 4 aux cubes est en fait un sur quatre au cube bien c'est je peux l'écrire comme ça c'est un sur 4 x 4 x 4 puisque 4 à la puissance 3 4 occupe ses 4 x 4 x 4 et puis le terme qui est ici quatre élevé à la puissance 5 bien je vais l'écrire ici c'est tout simplement 4 x 4 x 4 x 4 x 4 5 facteur 4 donc là je peux utiliser les règles de multiplication avec des fractions tout simplement et ça me donne en fait 4 x 4 x 4 x 4 x 4 / 4 x 4 x 4 et à ce stade là je peux faire des simplifications jeu peut diviser le numérateur déjà une fois par 4 est le dénominateur aussi le numérateur je peux encore le diviser par 4 est le dénominateur aussi le numérateur je peux encore le diviser par 4 une fois est le dénominateur aussi du coup ce qui me reste c'est 4 x 4 sur un si on veut mais en tout cas c'est 4 x 4 cette partie là qui est donc est bien bien égal à 4 élevée au carré c'est à dire à 16 autre exemple mais avec des variables cette fois ci donc je te propose par exemple que de faire ce calcul afin de simplifier cette expression a élevé à la puissance - k x a élevé à la puissance 2 alors ici là on peut reconnaître que c'est les deux produits de mon facteur sont tous les deux des puissances de a donc on peut appliquer la règle des puissances aussi ici et on va écrire que c'est donc à élever à la puissance - 4 + 2 donc moins 4 + 2 ça fait moins deux donc ce qu'on obtient c'est à élever à la puissance - 2 et là aussi ça a du sens c'est tout à fait cohérent on peut le vérifier comme tout à l'heure quand j'écris à élever à la puissance moins quatre c1 sur à élever à la puissance 4 donc c'est un sur à foix à foix à foix à et puis je multiplie sa part a élevée au carré qui est donc à foix a hélas je fais les simplifications comme on a vu tout à l'heure exactement de la même manière je peux divisé en haut et en bas par a une fois et puis une deuxième fois encore est ce qui me reste c'est un sur à au carré 1 / à foix a donc un sur ao carrés et un sur ao caresser ça s'écrit comme ça c'est à élever à la puissance - 2 alors je vais faire maintenant des exemples avec des quotients je te propose d'essayer de calculer cette expression l'a12 élevé à la puissance - 7 / 12 élevé à la puissance moins 5 alors la première chose à remarquer c'est que le numérateur et le dénominateur sont tous les deux des puissances d'un même nombre donc on peut appliquer la règle de division des puissances et dans ce cas là rappelle toi il faut soustraire les exposants donc le résultat ici c'est 12 élevé à la puissance - 7 - - 5 et donc je peux le réécrire un peu plus simplement ses douze élevé à la puissance - 7 + 5 - 7 + 5 et donc ces douze élevé à la puissance - 2 donc si tu préfères c1 sur douze au carré donc un sur 144 bon voila ca c c'est le pour terminer vraiment le calcul mais là ce qui est intéressant c'est aussi de comprendre pourquoi ça marche comme ça alors si tu écris 12 puissance - 7 / 12 élevé à la puissance moins 5 en fait tu d'accord on peut l'écrire comme ça c'est 12 puissance - 7 / 12 enfin x 1 sur 12 à la puissance moins 5 et là ici 1 sur 12 élevé à la puissance moins cinq ans fait ses douze élevé à la puissance 5 donc ce qu'on a ici c'est 12 puissance - 7 x 12 élevé à la puissance 5 et là on peut additionner les exposants ici donc on obtient 12 élevé à la puissance - 7 + 5 c'est à dire ce qu'on a retrouvé tout à l'heure 12 élevé à la puissance - 2 voilà alors pour terminer on va faire le un type d'exemple comme ça avec des variables donc je vais te proposait saïx élevé à la puissance moins 20 / x élevé à la puissance 5 alors ici on reconnaît aussi que la base est toujours la même c'est le nombreux x qu'on élève est à des puissances différentes donc on peut appliquer la règle de division dans ce cas-là de division des puissances c'est donc xlv à la puissance la différence des exposants donc moins 20 moins 5 donc finalement c'est xlv à la puissance moins 25 mais là aussi si tu veux on peut regarder un peu de la même manière que tout à l'heure si j'écris x élevé à la puissance moins 20 / xlv à la puissance 5 c'est xlv à la puissance moins 20 x 1 sur x élevé à la puissance 5 est en fait c c'est donc xlv la puissance moins 20 x x élevé à la puissance moins 5 et du coup là on a une un produit 2,2 puissance d'un même nombre donc on peut additionner les exposants et ça me donne x égale xlv à la puissance moins 20 moins 5 donc xlv à la puissance moins 25