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Algèbre I

Cours : Algèbre I > Chapitre 7

Leçon 7: Factoriser une différence de deux carrés

Factoriser une différence de deux carrés

Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.

Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler une différence de deux carrés dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante.

Factoriser une différence de deux carrés

L'identité remarquable est :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Par exemple si

a = x

b = 2

, on obtient :

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

Donc

x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)

. Pour vérifier on peut développer le deuxième membre :

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

Voici d'autres exemples.

Exemple 1 : La factorisation de $x^{2} - 16$ ‍

x^{2}

16

sont des carrés car

x^{2} = (x)^{2}

and

16 = 4^{2}

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Ce polynôme est une différence de deux carrés. Pour le factoriser on utilise l'identité remarquable :

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a = x

b = 4

, donc

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Pour vérifier, on peut effectuer le produit

(x + 4) (x - 4)

[détail]

À vous !

1) $x^{2} - 25$ ‍ est égal à :

[J'ai besoin d'aide.]

2) Factoriser $x^{2} - 100$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Une question

3) Peut-on utiliser cette identité remarquable pour factoriser $x^{2} + 25 ?$ ‍

[J'ai besoin d'aide.]

Exemple 2 : La factorisation de $4 x^{2} - 9$ ‍

Là aussi on a affaire à une différence de deux carrés.

4 x^{2}

9

sont des carrés car

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = 3^{2}

. Donc :

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - 3^{2} = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Pour vérifier, on peut effectuer le produit

(2 x + 3) (2 x - 3)

[détail]

À vous !

4) $25 x^{2} - 4$ ‍ est égal à :

[J'ai besoin d'aide.]

5) Factoriser $64 x^{2} - 81$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

6) Factoriser $36 x^{2} - 1$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

Un dernier exercice

7*) Factoriser $x^{4} - 9$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

8*) Factoriser $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.

[J'ai besoin d'aide.]

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Factoriser une différence de deux carrés

Exemple 1 : La factorisation de x2−16‍

À vous !

Une question

Exemple 2 : La factorisation de 4x2−9‍

À vous !

Un dernier exercice

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Exemple 1 : La factorisation de $x^{2} - 16$ ‍

Exemple 2 : La factorisation de $4 x^{2} - 9$ ‍