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Algèbre I

Cours : Algèbre I > Chapitre 7 

Leçon 8: Factoriser le développement du carré d'une somme ou d'une différence
Mathématiques
Algèbre I
Équations du second degré et polynômes
Factoriser le développement du carré d'une somme ou d'une différence
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Factoriser le développement du carré d'une somme ou d'une différence

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Comment reconnaître les expressions de la forme a² + 2ab + b² ou a² - 2ab + b² et utiliser les identités remarquables a² + 2ab + b² =(a + b)² et a² - 2ab + b² = (a-b)²
Factoriser un polynôme c'est l'écrire sous forme d'un produit.
Cette leçon vous permet de vous entraîner à déceler le développement du carré d'une somme ou d'une différence dans un polynôme et à appliquer l'identité remarquable correspondante. Reportez-vous si nécessaire à cette vidéo qui traite de ces identités remarquables.

Factoriser un trinôme s'il est le développement d'un carré

Pour développer le carré d'une somme ou le carré d'une différence, on utilise les identités :
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Par exemple, pour développer left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared, on utilise la première identité avec start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd et start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, et on obtient :
(x+5)2=x2+2×x×5+52=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2×\blueD x×\greenD5+\greenD 5^2=x^2+10x+25\end{aligned}
Vous pouvez vérifier en utilisant la double distributivité pour développer left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
On peut écrire ces identités dans l'autre sens. On met alors une somme algébrique sous la forme d'un produit. C'est pourquoi ces identités permettent de factoriser les polynômes de la forme a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Par exemple, si start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd et start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, on factorise x, squared, plus, 10, x, plus, 25 en utilisant la première identité :
x2+10x+25=x2+2×x×5+52=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2×\blueD x×\greenD5+\greenD 5^2=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Les expressions de ce type sont des développements du carré d'une somme algébrique.
Voici quelques exemples.

Exemple 1 : La factorisation de x, squared, plus, 8, x, plus, 16

x, squared, equals, start color #11accd, x, end color #11accd, squared et 16, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, squared, donc le premier et le dernier terme sont respectivement le carré de x et le carré de 4. Le terme du milieu est le double produit de x par 4 : 2, ×, start color #11accd, x, end color #11accd, ×, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, equals, 8, x.
Donc ce polynôme est le développement du carré d'une somme et on peut utiliser l'identité
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
IIci, start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd et start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, donc :
x2+8x+16=x2+2×x×4+42=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=\blueD x^2+2×\blueD x×\greenD 4+\greenD4^2=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Pour vérifier, on peut développer left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared :
(x+4)2=x2+2×x×4+42=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=x^2+2×x×4+4^2=x^2+8x+16 \end{aligned}

À vous !

1) Le trinôme x, squared, plus, 6, x, plus, 9 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

1) Le trinôme x, squared, minus, 6, x, plus, 9 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

3) Factoriser x, squared, plus, 14, x, plus, 49.
 

Exemple 2 : Factoriser 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Le coefficient du terme du second degré peut être différent de 1.
Dans le trinôme 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9, le premier terme est 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared et le dernier terme est 9, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, squared, donc ces deux termes sont respectivement le carré de 2, x et le carré de 3. Le terme du milieu est le double produit de 2, x par 3 : 2, ×, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, ×, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, equals, 12, x.
Donc 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 est le développement du carré d'une somme et on peut appliquer l'identité
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd et start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, donc
4x2+12x+9=(2x)2+2×2x×3+32=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2×\blueD {2x}×\greenD 3+\greenD3^2=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Pour vérifier, on peut développer left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

À vous !

4) Le trinôme 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25 est égal à :
Choisissez une seule réponse :

5) Factoriser 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.
 

Un dernier exercice

6*) Factoriser x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.
 

7*) Factoriser 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.
 

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