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Factoriser une expression littérale si ses termes ont des facteurs communs

Comment établir, par exemple, que 6x² + 10x = 2x(3x+5)

Les prérequis

Pour trouver le plus grand diviseur commun de axn et bxm, on décompose a et b en un produit de facteurs premiers et on écrit xn et xm sous forme d'un produit de facteurs d'exposant 1. Par exemple le plus grand diviseur commun de 6x et 4x2 est 2x.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur la factorisation d'une expression dont les termes ont des diviseurs communs.

La distributivité de la multiplication sur l'addition : a(b+c)=ab+ac

On utilise cette propriété pour développer un produit.
Par exemple, voici le produit de 3x2 par 4x+3 :
3x2(4x+3)=3x2(4x)+3x2(3)
On multiplie chacun des termes de la somme 4x+3 par 3x2.
Si on écrit l'égalité dans l'autre sens, on obtient :
3x2(4x)+3x2(3)=3x2(4x+3)
On a mis 3x2 en facteur dans la somme (3x2×4x)+(3x2×3) et on a obtenu le produit 3x2(4x+3).
L'expression est écrite sous forme d'un produit. On dit qu'elle est factorisée.

À vous !

Exercice 1
La factorisation de 2x×3x+2x×5 est :
Choisissez une seule réponse :

On met en facteur le plus grand diviseur commun des termes

Voici la marche à suivre pour mettre en facteur le plus grand diviseur commun des termes :
  1. On cherche le plus grand diviseur commun.
  2. On écrit chacun des termes sous la forme d'un produit dont l'un des facteurs est ce plus grand diviseur commun.
  3. On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition.
Voici l'exemple de la factorisation de 2x36x2.
1 - On cherche le plus grand diviseur commun des termes
  • 2x3=2×x×x×x
  • 6x2=2×3×x×x
Donc le plus grand diviseur commun de 2x3 et 6x2 est 2×x×x=2x2.
2 - On écrit chacun des termes sous la forme d'un produit dont l'un des facteurs est 2x2 .
  • 2x3=2x2×x
  • 6x2=2x2×3
Donc 2x36x2=2x2×x2x2×3.
3 - On met en facteur le plus grand diviseur commun
On applique la distributivité de la multiplication sur l'addition pour mettre en facteur 2x2.
2x2(x)2x2(3)=2x2(x3)
On vérifie.
Pour vérifier, on calcule le produit de 2x2 par x3 :
2x2(x3)=2x2(x)2x2(3)
On obtient bien l'expression donnée donc il n'y a pas d'erreur !

À vous !

Exercice 2
12x2+18x est égal à :
Choisissez une seule réponse :

Exercice 3
Factoriser au maximum ce polynôme :
10x2+25x+15=

Exercice 4
Factoriser au maximum ce polynôme :
x48x3+x2=

Est-il obligatoire de détailler toutes ces étapes ?

La réponse est non !
Une fois que l'on a trouvé le plus grand diviseur commun des termes du polynôme, on peut écrire directement que le polynôme est égal au produit de ce plus grand diviseur commun par la somme des quotients de chacun des termes par ce diviseur.
Voici l'exemple de la factorisation de 5x2+10x où le plus grand diviseur commun des deux termes est 5x :
5x2+10x=5x(5x25x+10x5x)=5x(x+2)

Le facteur commun est-il obligatoirement de la forme axn ?

La réponse est non !
Par exemple, soit le polynôme x(2x1)4(2x1).
Le facteur 2x1 est commun aux deux termes. On peut utiliser la distributivité de la multiplication sur l'addition :
x(2x1)4(2x1)=(x4)(2x1)

À vous !

Exercice 5
Factoriser au maximum ce polynôme :
2x(x+3)+5(x+3)=

Pour récapituler

On a utilisé le verbe "factoriser" ou l'expression "mettre en facteur" dans trois cas différents.
  • Si l'expression est un produit, cela signifie l'écrire sous forme d'un autre produit. Par exemple, 12x2=4x×3x.
  • Dans le cas d'une somme de deux ou plusieurs termes, la factoriser peut signifier l'écrire sous la forme du produit du plus grand diviseur commun de ses termes par une autre somme. Par exemple, 2x3+12x=2x(x2+6).
  • Mais ce peut signifier aussi l'écrire sous la forme du produit d'un binôme par un autre polynôme. Par exemple :
x(x+1)+2(x+1)=(x+1)(x+2)
Dans tous les cas, factoriser signifie écrire sous la forme d'un produit de deux ou plusieurs facteurs.

Un dernier exercice

Exercice 6
Factoriser au maximum ce polynôme :
12x2y530x4y2=

Exercice 7
On divise un grand rectangle d'aire 14x4+6x2 en deux plus petits rectangles d'aires 14x4 et 6x2.
La largeur du rectangle est le plus grand diviseur commun de 14x4 et 6x2.
Quelles sont les dimensions du grand rectangle ?
l=
L=

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