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Algèbre I
Cours : Algèbre I > Chapitre 7
Leçon 9: Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation- Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation
- Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation
- Résoudre l'équation x² + bx + c = 0 à l'aide d'une factorisation
- Résoudre l'équation a(x² + bx + c) = 0 à l'aide d'une factorisation
- Résoudre l'équation a(x² + bx + c) = 0 à l'aide d'une factorisation
- Résoudre une équation de la forme a(x² + bx + c) = 0 à l'aide d'une factorisation - 3 exemples
Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation
Comment résoudre une équation produit telle (x-1)(x+3)=0. Comment utiliser les méthodes de factorisation que vous connaissez pour résoudre une équation du second degré.
Les prérequis
Le sujet traité
Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en x et des constantes.
Vous avez aussi résolu certaines équations du second degré, où la variable est au carré, en prenant la racine carrée des deux membres.
Dans cette leçon, vous allez apprendre une nouvelle façon de résoudre les équations du second degré. Plus précisément, vous apprendrez
- comment résoudre une équation produit telle que left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 et
- à utiliser des méthodes de factorisation pour résoudre d'autres équations, par exemple l'équation x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0.
Résoudre une équation-produit
Soit à résoudre l'équation left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
C'est une équation à une inconnue où le premier membre est un produit de deux facteurs du premier degré et le second membre est 0. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0 équivaut à left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, equals, 0 ou left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Les solutions de l'équation sont x, equals, 1 et x, equals, minus, 3.
À vous !
Une question
Remarque
Comment peut-on être sûr qu'il n'y a pas d'autres solutions ?
A, B, equals, 0 si et seulement si A, equals, 0 ou B, equals, 0
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Si on remplace x par n'importe quelle autre valeur, on aura un produit de deux nombres, tous les deux différents de zéro. Donc on est sûr de ne pas obtenir zéro. Par conséquent, il n'y a pas d'autres solutions.
Résoudre à l'aide d'une factorisation
Soit à résoudre l'équation x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0. On peut factoriser le polynôme x, squared, minus, 3, x, minus, 10 !
x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
La résolution de cette équation est :
A vous ! N'oubliez pas que différents types d'équations appellent différentes méthodes de factorisation.
Résoudre x, squared, plus, 5, x, equals, 0.
Résoudre x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.
Résoudre 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.
Résoudre 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.
Deux règles à observer
Écrire l'équation sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.
Par exemple, voici la résolution de l'équation x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x :
On écrit l'équation sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0, on factorise et on résout l'équation produit obtenue.
Simplifier éventuellement en utilisant un facteur commun.
Par exemple, voici la résolution de l'équation 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 :
Le facteur commun est 2, on peut donc diviser les deux membres par 2.
À vous !
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- J'arrive pas à résoudre : x²+6=0 et 16x²-56x+49=0 Aidez moi... svp, merci.(1 vote)
- x+5√x-3=0 résoudre équation(1 vote)
- 5√x = 3 - x avec x ⩾ 0 et 3 - x ⩾ 0, donc 0 ≤ x ≤ 3
On élève au carré et on obtient
25x =(3-x)²
x² - 31x + 9 = 0
Il n'est pas possible de factoriser en utilisant la méthode décrite ici.
Pour factoriser, il faut passer par la forme canonique :
x² - 31x + 9 = 0
(x - 31/2)² - 961/4 + 9 = 0
(x - 31/2)² - (961/4 - 9) = 0
(x - 31/2)² - 925/4 = 0
(x - 31/2)² - (5√37/2)² = 0 car 925 = 25 × 37
(x - 31/2 + 5√37/2)(x - 31/2 - 5√37/2)= 0
x' = (31 - 5√37)/2 et x" = (31 + 5√37)/2
x" > 3 donc ne convient pas
La solution est x' = (31 - 5√37)/2
On peut aussi utiliser la formule
Δ = 925 = 25×37
x' = (31 - 5√37)/2 et x" = (31 + 5√37)/2(1 vote)