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Algèbre I

Cours : Algèbre I > Chapitre 7 

Leçon 9: Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation
Mathématiques
Algèbre I
Équations du second degré et polynômes
Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation
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Résoudre une équation du second degré à l'aide d'une factorisation

Google Classroom
Comment résoudre une équation produit telle (x-1)(x+3)=0. Comment utiliser les méthodes de factorisation que vous connaissez pour résoudre une équation du second degré.

Les prérequis

Le sujet traité

Jusqu'à présent vous avez résolu des équations du premier degré. Dans ces équations ne figurent que des termes en x et des constantes.
Vous avez aussi résolu certaines équations du second degré, où la variable est au carré, en prenant la racine carrée des deux membres.
Dans cette leçon, vous allez apprendre une nouvelle façon de résoudre les équations du second degré. Plus précisément, vous apprendrez
  • comment résoudre une équation produit telle que left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 et
  • à utiliser des méthodes de factorisation pour résoudre d'autres équations, par exemple l'équation x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0.

Résoudre une équation-produit

Soit à résoudre l'équation left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
C'est une équation à une inconnue où le premier membre est un produit de deux facteurs du premier degré et le second membre est 0. Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. Donc, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0 équivaut à left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, equals, 0 ou left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Les solutions de l'équation sont x, equals, 1 et x, equals, minus, 3.
À vous !
Résoudre left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Choisissez une seule réponse :

Résoudre left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Choisissez une seule réponse :

Une question

Peut-on appliquer cette méthode de résolution à l'équation left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6, space, question mark
Choisissez une seule réponse :

Remarque

Comment peut-on être sûr qu'il n'y a pas d'autres solutions ?
A, B, equals, 0 si et seulement si A, equals, 0 ou B, equals, 0
Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.
Si on remplace x par n'importe quelle autre valeur, on aura un produit de deux nombres, tous les deux différents de zéro. Donc on est sûr de ne pas obtenir zéro. Par conséquent, il n'y a pas d'autres solutions.

Résoudre à l'aide d'une factorisation

Soit à résoudre l'équation x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0. On peut factoriser le polynôme x, squared, minus, 3, x, minus, 10 !
x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
La résolution de cette équation est :
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
A vous ! N'oubliez pas que différents types d'équations appellent différentes méthodes de factorisation.

Résoudre x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Étape 1. Factoriser x, squared, plus, 5, x.\quad

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Résoudre x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Étape 1. Factoriser x, squared, minus, 11, x, plus, 28 pour obtenir un produit de deux facteurs.\quad

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Résoudre 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Étape 1. Factoriser 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 pour obtenir un produit de deux facteurs.\quad

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Résoudre 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Étape 1. Factoriser 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 pour obtenir un produit de deux facteurs.\quad

Étape 2. Les solutions de l'équation sont :
Choisissez une seule réponse :

Deux règles à observer

Écrire l'équation sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0.

Par exemple, voici la résolution de l'équation x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x :
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0on soustrait 40 et on ajoute x dans les deux membresx2+3x−40=0on reˊduit(x+8)(x−5)=0on factorise\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{on soustrait 40 et on ajoute }x\text{ dans les deux membres}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{on réduit}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{on factorise}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
On écrit l'équation sous la forme a, x, squared, plus, b, x, plus, c, equals, 0, on factorise et on résout l'équation produit obtenue.

Simplifier éventuellement en utilisant un facteur commun.

Par exemple, voici la résolution de l'équation 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0 :
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0on divise par 2.(x−3)2=0on factorise.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{on divise par 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{on factorise.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Le facteur commun est 2, on peut donc diviser les deux membres par 2.
À vous !
Résoudre l'équation.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Choisissez toutes les réponses possibles :

Résoudre l'équation.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Choisissez toutes les réponses possibles :

Résoudre l'équation.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Choisissez toutes les réponses possibles :

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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur alexminka1
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de alexminka1 «J'arrive pas à résoudre : ... »
    J'arrive pas à résoudre : x²+6=0 et 16x²-56x+49=0 Aidez moi... svp, merci.
    (1 vote)
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  • blobby green style l'avatar de l’utilisateur Patrice ASTORG
    Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de Patrice ASTORG «x+5√x-3=0 résoudre équati ... »
    x+5√x-3=0 résoudre équation
    (1 vote)
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    • blobby green style l'avatar de l’utilisateur mgdenizet
      Posté il y a il y a 6 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «5√x = 3 - x avec x ⩾ 0 et ... »
      5√x = 3 - x avec x ⩾ 0 et 3 - x ⩾ 0, donc 0 ≤ x ≤ 3
      On élève au carré et on obtient
      25x =(3-x)²
      x² - 31x + 9 = 0
      Il n'est pas possible de factoriser en utilisant la méthode décrite ici.
      Pour factoriser, il faut passer par la forme canonique :
      x² - 31x + 9 = 0
      (x - 31/2)² - 961/4 + 9 = 0
      (x - 31/2)² - (961/4 - 9) = 0
      (x - 31/2)² - 925/4 = 0
      (x - 31/2)² - (5√37/2)² = 0 car 925 = 25 × 37
      (x - 31/2 + 5√37/2)(x - 31/2 - 5√37/2)= 0
      x' = (31 - 5√37)/2 et x" = (31 + 5√37)/2
      x" > 3 donc ne convient pas
      La solution est x' = (31 - 5√37)/2
      On peut aussi utiliser la formule
      Δ = 925 = 25×37
      x' = (31 - 5√37)/2 et x" = (31 + 5√37)/2
      (1 vote)
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