Module et argument d'un nombre complexe - Savoirs et savoir-faire

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.
Le module de z=a+biz=a+bi
z=a2+b2\mid\!\! z\!\mid=\sqrt{a^2+b^2}
Un argument de z=a+biz=a+bi
Si le module de zz est noté rr, un argument de zz est l'angle θθ tel que cos θ=a/r\text{cos }θ=a/r et sin θ=b/r\text{sin }θ=b/r
Forme trigonométrique du nombre complexe de module rr et d'argument θ\theta
rcosθ+rsinθir\cos\theta+r\sin\theta i\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}\operatorname{}

Module et argument d'un nombre complexe

Un nombre complexe zz est sous forme algébrique s'il est sous la forme a+bia+bi, où aa est sa partie relleeˊ\blueD{\text{partie réelle}} et bb sa partie imaginaire\greenD{\text{partie imaginaire}}. Le nombre complexe z=3+4iz=\blueD3+\greenD4i est sous forme algébrique.
L'image dans le plan complexe du nombre complexe z=a+biz=a+bi est le point M(a ;b)M(a~;b) :
Si M\text M est l'image de z=a+biz=a+bi et O\text O l'origine du repère, on peut caractériser le nombre complexe zz par son module r\goldD{\text{module r}} défini comme la longueur du segment [OM]\text {[OM]} et par l'une des mesures θθ de l’angle orienteˊ\purpleC{\text{l'angle orienté}} des demi-droites notées [Ox)[Ox) et [OM)[OM) dans certains pays et [Ox[Ox et [OM[OM dans d'autres pays.
On peut donc caractériser le nombre complexe zz par son module\goldD{\text{module}} qui est noté avec le symbole de la valeur absolue\goldD{\text{valeur absolue}} : z|z| et par une des mesures de l’angle orient eˊθ\purpleC{\text{l'angle orienté }θ} appelée un argument\purpleC{\text{un argument}} de zz. La valeur de cet angle comprise entre π et ππ est appelée l'argument principal de zz.
Si z=a+biz=a+bi, alors z=a+bi|z|=|a+bi|, et l'un de ses arguments θθ est tel que cos θ=a/z\text{cos }θ=a/|z| et sinθ=b/z\text{sin}θ=b/|z|.

1 - Calculer le module d'un nombre complexe

On applique le théorème de Pythagore :
a+bi=a2+b2|\blueD a+\greenD bi|=\sqrt{\blueD a^2+\greenD b^2}
Par exemple, le module de z=3+4iz=\blueD 3+\greenD4i est z=32+42=25=5|z|=\sqrt{\blueD3^2+\greenD4^2}=\sqrt{25}=5.
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - Calculer un argument d'un nombre complexe

Pour calculer un argument d'un nombre complexe on peut utiliser la fonction arctangente\text{arctangente}. Mais il ne faut pas oublier que quel que soit θθ, et que la fonction arctangente renvoie celle de ces mesures qui est comprise entre et (ou entre π/2-π/2 et π/2π/2). Il faut donc parfois ajouter soit (ou ππ), soit (ou 2π) à la valeur de la fonction arctangente obtenue.
θ=arctan(ba)\theta=\text{arctan}\left(\dfrac{\greenD b}{\blueD a}\right)\operatorname{}
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.

Exemple 1 : MM est dans le Quadrant I\text{I}

Soit à calculer un argument de 3+4i\blueD3+\greenD4i.
arctan(43)53\text{arctan}\left(\dfrac{\greenD4}{\blueD3}\right)\approx 53^\circ\operatorname{}

Exemple 1 : MM est dans le Quadrant II\text{II}

Soit à calculer un argument de 3+4i\blueD{-3}+\greenD4i. L'image de 3+4i\blueD{-3}+\greenD4i est dans le Quadrant II\text{II}.
arctan(43)53\text{arctan}\left(\dfrac{\greenD4}{\blueD{-3}}\right)\approx -53^\circ\operatorname{}
Pour obtenir la mesure désirée, on ajoute 180180^\circ.\operatorname{}
53+180=127-53^\circ+180^\circ=127^\circ
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

3 - Forme algébrique d'un nombre complexe dont on connaît le module et un argument

La partie réelle du nombre complexe de module et dont un argument est θθ est rcos θr\text{cos }θ et sa partie imaginaire est rsinθr\text{sin}θ
On obtient ce résultat en utilisant les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
La forme algébrique du nombre complexe de module 2\goldD 2 et dont un argument est 30\purpleC{30^\circ} :
2cos(30)+2sin(30)i=3+1i\goldD 2\cos(\purpleC{30^\circ})+\goldD 2\sin(\purpleC{30^\circ})i=\blueD{\sqrt 3}+\greenD1i
Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.
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