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Forme trigonométrique d'un nombre complexe - Produit et quotient de deux nombres complexes - Formule de Moivre

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

La forme trigonométrique d'un nombre complexe

r(cosθ+isinθ)
Sous cette forme c'est le module et un argument du nombre complexe z qui sont en évidence. Si M est le point du plan complexe d'affixe z, le module de z est la longueur OM. Le module est noté avec le symbole de la valeur absolue : |z|. Un argument de z est l'une des mesures de l’angle orienté défini par l'axe [Ox) et le vecteur d'origine O et d'extrémité M. On appelle argument principal la valeur de cet angle comprise entre π et π.
Si on développe la forme trigonométrique de z, on obtient sa forme algébrique :

1 - Multiplier ou diviser deux nombres complexes donnés sous forme trigonométrique

La forme trigonométrique est la forme la plus adaptée à la multiplication et à la division de deux nombres complexes, en effet :
z1=r1(cosθ1+isinθ1)z2=r2(cosθ2+isinθ2)z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]z1z2=r1r2[cos(θ1θ2)+isin(θ1θ2)]
Exercice 1.1
w1=5[cos(15)+isin(15)]
w2=3[cos(45)+isin(45)]
w1×w2=

On demande la forme trigonométrique du produit et un argument en degrés.

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

2 - La formule de Moivre

z1=r1(cosθ1+isinθ1)(z1)n=(r1)n[cos(n×θ1)+isin(n×θ1)]

Exercice 1

Soit à calculer (1+3i)6. On écrit d'abord le nombre complexe sous forme trigonométrique :
(1+3i)=2(cos60+isin60)
On applique la formule de Moivre :
=[2(cos60+isin60)]6=(2)6[cos(6×60)+isin(6×60)]=64(cos360+isin360)=64(1+i×0)=64

Exercice 2

Soit à résoudre l'équation z3=27. Si le module de z est r et l'un de ses arguments θ, alors z3=r3[cos(3×θ)+isin(3×θ)].
27=27[cos(k×360)+isin(k×360)].
On identifie les parties réelles et les parties imaginaires :
r3=27
3×θ=k×360
La solution de la première équation est r=3. TLa solution de la deuxième équation est θ=k×120, donc θ=0 ou θ=120 ou θ=240. On obtient les trois solutions :
z1=3z2=32+332iz3=32332i
Exercice 2.1
(2+2i)6=

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

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