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Cours : Algèbre > Chapitre 16
Leçon 10: Multiplier ou diviser des nombres complexes écrits sous forme trigonométrique- Diviser des nombres complexes en utilisant leur forme exponentielle
- Interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes
- Multiplier ou diviser des nombres complexes écrits sous forme trigonométrique
- Exercices mettant en jeu une puissance d'un nombre complexe
- Utiliser la forme exponentielle pour trouver des racines complexes
- Interprétation géométrique des puissances d'un nombre complexe
- Exercices mettant en jeu une puissance d'un nombre complexe
- Forme trigonométrique d'un nombre complexe - Produit et quotient de deux nombres complexes - Formule de Moivre
Interprétation géométrique de la multiplication des nombres complexes
.
La multiplication dans l'ensemble des nombres complexes
On sait multiplier deux nombres complexes qu'ils soient sous forme algébrique ou sous forme trigonométrique. En particulier, si les deux nombres sont sous forme trigonométrique, pour les multiplier on multiplie leurs modules et on additionne leurs arguments :
On peut visualiser ce qu'il se passe.
Que devient le point du plan complexe d'affixe si on multiplie par ? Plus précisément, quelle est la transformation appliquée au point ? Si . D'après la règle rappelée plus haut, on multiplie le module de par celui de et on ajoute à l'argument de , celui de . On en déduit que la transformation appliquée à est l'homothétie de centre et de rapport , suivie de la rotation de centre et d'angle .
Exemples
Si , le rapport de l'homothétie est et l'angle de la rotation est :
Si , son module est
et l'un de ses arguments est . donc le rapport de l'homothétie est , et la rotation est la rotation de dans le sens rétrograde.
Si , son module est et l'un de ses arguments est , donc le rapport de l'homothétie est et l'angle de la rotation est l'angle plat.
Une autre façon de visualiser ces deux transformations est de placer le point d'affixe et le point d'affixe . En effet, quel que soit , , donc il suffit de repérer par quelle homothétie suivie de quelle rotation le point d'affixe a comme image le point d'affixe . Étant bien entendu que l'image de l'origine est car quel que soit , = .
Il est intéressant de voir que des résultats aussi simples que et sont d'une grande aide pour visualiser la multiplication des nombres complexes.
Interprétation géométrique de la multiplication par un nombre complexe puis par son conjugué
Que se passe-t-il si on multiplie par un nombre complexe , puis par son conjugué :
Si un argument de est , un argument de est , donc l'angle de la rotation associée à la multiplication par suivie de la multiplication par son conjugué est nul. On peut effectivement vérifier que l'image du point d'affixe est sur l'axe des abscisses.
Et le module ? Les deux nombres ont le même module, , donc le rapport de l'homothétie qui résulte de la multiplication par puis par est .
Ce n'est pas vraiment surprenant dans la mesure où mais c'est toujours intéressant d'utiliser un autre éclairage !
Interprétation géométrique de la division
Que devient le point d'affixe si on divise par ? Si un argument de est et son module , l'image du quotient de par est le transformé de par la rotation de centre et d'angle suivie de l'homothétie de centre et de rapport .
Exemple 1 : Division par
Un argument de est et son module est , donc la transformation est une rotation d'angle dans le sens rétrograde suivie d'une homothétie de rapport .
Exemple 2 : Division par
Un argument de est et son module est
Donc l'angle de la rotation est et le rapport de l'homothétie est
On peut remarquer que cette transformation est celle dans laquelle le point d'affixe a comme image le point d'affixe .
Le lien entre l'interprétation géométrique de la division et la formule algébrique
Si et , pour calculer on multiplie les deux termes de la fraction par le conjugué de , .
Donc diviser par revient à multiplier par . Peut-on en donner une interprétation géométrique ?
Si un argument de est et son module , les transformations associées à la division par sont la rotation d'angle et l'homothétie de rapport . L'argument de est l'opposé de l'argument de , donc si on multiplie par l'angle de la rotation est bien . Mais le rapport de l'homothétie associée à la multiplication par est et non pas son inverse, donc pour corriger on doit diviser par .
Par exemple, si on divise par , graphiquement on a :
Si on commence par multiplier par son conjugué et que l'on divise ensuite par le carré de son module , on a :
On obtient le même résultat.
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