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Cours : Algèbre > Chapitre 16

Leçon 9: Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Les différentes formes d'un nombre complexe

La forme algébrique, la forme trigonométrique et la forme exponentielle.

Les trois formes d'un nombre complexe


Algébrique		$a + b i$ ‍
Trigonométrique		$r (\cos (θ) + i \sin (θ))$ ‍
Exponentielle		$r \times e^{i θ}$ ‍

Forme algébrique

a + b i

Sous cette forme, la partie

réelle

et la partie

imaginaire

du nombre complexe sont en évidence.

C'est la forme la plus adaptée si on doit additionner ou soustraire deux nombres complexes.

Dans le plan complexe l'image du nombre complexe

a + b i

est le point d'abscisse

a

et d'ordonnée

b

La vidéo Représenter un nombre complexe dans le plan complexe et la vidéo Additionner des nombres complexes.

Forme trigonométrique

r (\cos (θ) + i \sin (θ))

Sous cette forme c'est

le module

un argument

du nombre complexe

z

qui sont en évidence. Si

M

est le point du plan complexe d'affixe

z

, le module de

z

est la longueur du segment

[O M]

. Le module est noté avec le symbole de la

valeur absolue

| z |

. Un argument de

z

est l'une des mesures

θ

l’angle orienté

des demi-droites notées

[O x)

[O M)

dans certains pays et

[O x

[O M

dans d'autres pays

Si on développe la forme trigonométrique de

z

, on obtient sa forme algébrique :

r (\cos (θ) + i \sin (θ)) = \overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \times i

z_{1}

est le nombre complexe de module

r_{1}

et dont un argument est

θ_{1}

z_{2}

le nombre complexe de module

r_{2}

et dont un argument est

θ_{2}

, alors le module de leur produit

z_{1} z_{2}

est

r_{1} r_{2}

et un des ses arguments est

θ_{1} + θ_{2}

La vidéo Forme trigonométrique d'un nombre complexe.

Forme exponentielle - Formule d'Euler

r \times e^{i θ}

Sous cette forme, c'est aussi le

module

et un

argument

du nombre complexe qui sont en évidence. Il suffit de regarder comment s'écrit le produit de deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle pour se rendre compte de ses avantages et de sa simplicité :

(r_{1} \times e^{i θ_{1}}) \times (r_{2} \times e^{i θ_{2}}) = r_{1} r_{2} \times e^{i (θ_{1} + θ_{2})}

C'est Euler qui a établi que quel que soit le réel

θ

e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)

. Le raisonnement est le suivant : soit la fonction

f : θ \mapsto cos θ + i sin θ

. On démontre facilement que

f^{'} (θ) = i f (θ)

. Et Euler l'a rapproché du fait que si

g (x) = e^{k x}

alors

g^{'} (x) = k e^{k x} = k g (x)

Bien sûr l'égalité qui lie la forme exponentielle d'un nombre complexe et sa forme trigonométrique est :

r \times e^{i θ} = r (\cos (θ) + i \sin (θ))

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