Vous écrivez que 0i est un nombre imaginaire et plus bas vous inscrivez que la forme a+bi b=0 est un nombre réel...explication ?

Cela tient au caractère particulier de 0, qui est à la fois un complexe, (le nombre complexe nul, neutre pour l'addition des complexes), un imaginaire pur (l'imaginaire pur nul, neutre pour l'addition des imaginaires purs), et un réel (le réel nul, neutre pour l'addition des réels). Donc 0i est bien imaginaire pur, alors que a+0i (avec a≠0) est un réel.

Dans les deux dernier paragraphe de "Pourquoi les nombres complexes sont-ils importants ?" vous vouliez pas plutot dire "reponse" a la place de "racines". a part ca merci beaucoup pour vos cours gratuit

Que voulez-vous dire ? Un polynôme a des "racines, il n'a pas de "réponses"....

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Cours : Algèbre > Chapitre 16

Leçon 2: Les nombres complexes

Les nombres complexes

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L'ensemble des nombres complexes. La partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe.

L'équation

x^{2} = - 1

n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, mais elle en a deux dans un nouvel ensemble de nombres qui est appelé l'ensemble des nombres complexes.

Le nombre $i$ ‍ est à la base de l'ensemble des complexes.

$i^{2} = - 1$ ‍
$\sqrt{- 1} = i$ ‍

Les nombres de la forme

b i

, où

b

est un réel différent de

0

, comme par exemple,

3 i

i \sqrt{5}

- 12 i

sont appelés des imaginaires purs.

Les nombres de la forme

a + i b

où

a

b

sont des réels différents de

0

, par exemple,

2 + 7 i

3 - \sqrt{2} i

sont appelés des nombres complexes.

Définition

L'ensemble des complexes est l'ensemble des nombres de la forme

a + b i

, où

a

b

sont des réels.

\begin{array}{ccc} a & + & i b \\ ↑ & ↑ \\ Partie & Partie \\ réelle & imaginaire \end{array}

z = a + i b

a

est la partie $réelle$ ‍ de

z

b

est sa partie $imaginaire$ ‍.

Voici des exemples. Pour identifier la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe, ce peut être une bonne habitude d'écrire ce nombre sous la forme

a + b i

Nombre	Forme $a + b i$ ‍	Partie réelle et partie imaginaire
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	Sa partie réelle est $- 2$ ‍ et sa partie imaginaire est $7$ ‍.
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	Sa partie réelle $4$ ‍ et sa partie imaginaire est $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	Sa partie réelle $0$ ‍ et sa partie imaginaire est $9$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	Sa partie réelle $- 2$ ‍ et sa partie imaginaire est $0$ ‍

À vous !

Exercice 1

Quelle est la partie réelle de $13, 2 i + 1 ?$ ‍

Exercice 2

Quelle est la partie imaginaire de $21 - 14 i ?$ ‍

Exercice 3

Quelle est la partie réelle de $17 i ?$ ‍

Les sous-ensembles de l'ensemble $C$ ‍ des nombres complexes

L'ensemble des réels et l'ensemble des imaginaires purs sont des sous-ensembles de l'ensemble des complexes. En effet,

Un imaginaire pur est un nombre de la forme $a+bi$ ‍ avec $a=0$ ‍.

De même, un réel est un nombre de la forme $a+bi$ ‍ avec $b=0$ ‍.

Donc tout nombre de l'ensemble des imaginaires purs appartient à l'ensemble C des nombres complexes et tout nombre de l'ensemble des réels appartient à l'ensemble C des nombres complexes

Un nombre complexe tel que

4 + 2 i

n'est ni un réel, ni un imaginaire pur.

\begin{matrix} Nombres complexes \\ \begin{array}{lcr} 4 + 2 i & - 3 - \sqrt{5} i \end{array} \\ \begin{matrix} Réels \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} & - 12, 2 & 3 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} Imaginaires purs \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} i & - 12, 2 i & 3 i \end{array} \end{matrix} \end{matrix}

Une question

Cette proposition est-elle vraie ?

Un nombre complexe est soit un réel, soit un imaginaire pur.

Exemples

Voici cinq exemples de nombres complexes :

	$\begin{aligned} Réel \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Imaginaire pur \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Complexe \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1, 3 i \\ (0 + (- 1, 3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

NB. Les cinq nombres donnés sont tous des nombres complexes.

A vous !

Exercice 4

$- 2 + 3 i$ ‍ est-il un réel, un imaginaire pur, un nombre complexe ?

Exercice 5

$10, 2$ ‍ est-il un réel, un imaginaire pur, un nombre complexe ?

Exercice 6

$- 17 i$ ‍ est-il un réel, un imaginaire pur, un nombre complexe ?

Pourquoi les nombres complexes sont-ils importants ?

A quoi servent-ils ? Peut-être ne le croirez-vous pas, mais ils ont beaucoup d'applications, par exemple en électricité ou en mécanique quantique, pour ne citer que ces deux exemples.

En algèbre, on démontre que tout polynôme quel que soit son degré a des racines dans l'ensemble des complexes.

Par exemple, le polynôme

p (x) = x^{2} - 2 x + 5

qui n'a pas de racines dans l'ensemble des réels a deux racines dans l'ensemble des complexes :

1 + 2 i

1 - 2 i

Cette leçon n'est que le début d'une longue histoire...

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Trier par :

Mathis Peyronne
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Mathis Peyronne «Dans les deux dernier par ... »
Dans les deux dernier paragraphe de "Pourquoi les nombres complexes sont-ils importants ?" vous vouliez pas plutot dire "reponse" a la place de "racines". a part ca merci beaucoup pour vos cours gratuit
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Réponse
- mgdenizet
  Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de mgdenizet «Que voulez-vous dire ? Un ... »
  Que voulez-vous dire ? Un polynôme a des "racines, il n'a pas de "réponses"....
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  (6 votes)
Benoît Seutin
Posté il y a il y a 4 ans. Lien direct vers le message de Benoît Seutin «Au début de cette partie, ... »
Au début de cette partie, vous faites allusion à quelque chose qui a été vue précédemment: "Comme nous l'avons vu dans une précédente leçon", "Nous avions étudié les nombres de la forme bi". Il faudrait dès lors préciser par un lien car cette partie est le tout début des nombres complexes...
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Réponse
Mikael Joyal Nadeau
Posté il y a il y a un an. Lien direct vers le message de Mikael Joyal Nadeau «Vous écrivez que 0i est u ... »
Vous écrivez que 0i est un nombre imaginaire et plus bas vous inscrivez que la forme a+bi b=0 est un nombre réel...explication ?
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Réponse
- Elisabeth
  Posté il y a il y a 10 mois. Lien direct vers le message de Elisabeth «Cela tient au caractère p ... »
  Cela tient au caractère particulier de 0, qui est à la fois un complexe, (le nombre complexe nul, neutre pour l'addition des complexes), un imaginaire pur (l'imaginaire pur nul, neutre pour l'addition des imaginaires purs), et un réel (le réel nul, neutre pour l'addition des réels).
  Donc 0i est bien imaginaire pur, alors que a+0i (avec a≠0) est un réel.
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