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Le nombre i

Découverte du nombre i, des nombres complexes et des nombres dont le carré est négatif.
Certaines équations du second degré n'ont pas de solution réelle.
Par exemple, il n'existe pas de réel solution de l'équation x2=1 car il n'existe pas de réel dont le carré est négatif.
Mais l'équation x2=1 a une solution dans l'ensemble des nombres complexes. Nous allons voir pourquoi et nous allons définir le sous-ensemble de l'ensemble des nombres complexes appelé l'ensemble des imaginaires purs.

Le nombre i

Le nombre i est à la base de l'ensemble des complexes.
Il est défini par :
  • i=1
  • i2=1
Donc i est solution de l'équation x2=1.

Les imaginaires purs

Si on multiplie le nombre i par un nombre réel différent de 0, on obtient ce qu'on appelle un imaginaire pur.
Par exemple, 3i, i5 et 12i sont des imaginaires purs. Tout nombre de la forme bib est différent de 0 est un imaginaire pur.
Quel résultat obtient-on si on élève 3i au carré ?
(3i)2=32i2=9i2
Mais i2=1, donc ;
(3i)29i2=9×(1)=9
(3i)2=9 donc un des nombres dont le carré est 9 est 3i.

À vous !

Calculer (4i)2.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Quel est celui de ces deux nombres dont le carré est 16?
Choisissez une seule réponse :

Les imaginaires purs sont les nombres dont le carré est négatif.

Utiliser les imaginaires purs

Voici des exemples :
Une racine carréeUn imaginaire pur qui lui est égal
93i
5i5
14412i
Quelle règle appliquer ?
On prend le premier exemple :
EgalitéDémarche
9=3iLes racines carrées de 9 sont des imaginaires purs. L'un des nombres dont le carré est 9 est 3, donc l'un des imaginaires purs dont le carré est moins 9 est le produit de 3 par i c'est-à-dire 3i.
Par définition :
Quel que soit a>0, a=ia
On prend un autre exemple.

Exemple

Écrire 18 en fonction de i.

Réponse

18 est négatif donc 18 est un imaginaire pur et par définition, 18=i18.
On simplifie 18.
Voici le déroulement du calcul :
Pour tout a>0a=ia18=i1818 est le double de 9=i×9×2ab=a×b si a,b0=i9×29=3=i×3×2La multiplication est commutative=3i2
Donc, 18=3i2.

À vous !

Exercice 1

Écrire 25 en fonction de i.
 

Exercice 2

Écrire 10 en fonction de i.
 

Exercice 3

Écrire 24 en fonction de i.
 

Pourquoi avoir créé les nombres imaginaires ?

La réponse est simple. Le nombre i permet de résoudre des équations qui n'ont pas de solution réelle.
Il faut bien réaliser que c'est une erreur de dire "cette équation n'a pas de solution" ou "cette équation a une solution" car tout dépend de l'ensemble de nombres considéré. On devrait dire "cette équation n'a pas de solution dans tel ensemble de nombres" ou "cette équation a une solution dans tel ensemble de nombres".
Par exemple :
  • L'équation x+8=1 n'a pas de solution dans l'ensemble des naturels, mais elle en a une dans l'ensemble des entiers.
  • L'équation 3x1=0 n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers, mais elle en a une dans l'ensemble des rationnels.
  • L'équation x2=2 n'a pas de solution dans l'ensemble des rationnels, mais elle en a une dans l'ensemble des irrationnels.
Et de même l'équation x2=1 n'a pas de solution dans l'ensemble des réels, mais elle en a une dans l'ensemble des imaginaires purs.
Nous avons défini ici l'ensemble des imaginaires purs. La prochaine étape sera de définir l'ensemble des complexes.

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