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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 17 

Leçon 4: Équation d'un cercle sous forme développée
Mathématiques
Algèbre
Les coniques
Équation d'un cercle sous forme développée
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Équation d'un cercle - Savoirs et savoir-faire

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Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé

Equation cartésienne d'un cercle

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
Cette équation est l'équation cartésienne d'un cercle de centre left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis et de rayon start color #e07d10, r, end color #e07d10.
On peut aussi l'écrire sous forme développée, en développant les carrés et en réduisant les termes semblables.
Par exemple, l'équation cartésienne du cercle de centre left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, comma, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis et de rayon start color #e07d10, 3, end color #e07d10 est left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared. Voici sa forme développée :
(x−1)2+(y−2)2=32(x2−2x+1)+(y2−4y+4)=9x2+y2−2x−4y−4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
La vidéo.

Exercice 1 : Utiliser l'équation d'un cercle

Exercice 1.1
  • Actuelle
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
Quelles sont les coordonnées du centre de ce cercle ?
left parenthesis
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Quel est son rayon ?
Si nécessaire, arrondir au centième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, il y a ces exercices : Le centre et le rayon d'un cercle d'équation cartésienne donnée et ceux-ci : Tracer un cercle d'équation cartésienne donnée..

Exercice 2 : Etablir l'équation d'un cercle

Exercice 2,1
  • Actuelle
Soit le cercle de rayon square root of, 13, end square root, dont le centre est le point de coordonnées left parenthesis, minus, 9, comma, 3, space, ;, 4, comma, 1, right parenthesis.
Établir l'équation de ce cercle.
 

Pour vous entraîner, vous pouvez faire ces exercices.

Exercice 3 : Utiliser la forme développée de l'équation du cercle

Il faut mettre en évidence des développements de carrés d'une somme pour passer de l'équation développée d'un cercle à son équation cartésienne.
Voici un exemple avec l'équation x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 :
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=−105(x2+18x)+(y2+14y)=−105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=−105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x−(−9))2+(y−(−7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
Le centre du cercle a pour coordonnées left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis et le rayon est 5.
Exercice 3,1
  • Actuelle
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
Quelles sont les coordonnées du centre de ce cercle ?
left parenthesis
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Quel est le rayon de ce cercle ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Pour vous entraîner, il y a ces exercices : Le centre et le rayon d'un cercle d'équation développée donnée et ceux-ci : Tracer un cercle d'équation développée donnée.

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