Distance focale d'une hyperbole - Démonstration de la formule

alors dans une ancienne vidéo qu'on m'avait étudier des hyperboles donc ça c'est l'équation classique canonique d'une hyperbole je t'avais dit sans démontrer que la demie distance focale f de cette hyperbole elle était donnée par racine carrée de hao carré plus bo carré donc tu avais donné cette formule là sans te l'a démontré donc ici on va faire des calculs un peu compliqué pour arriver à démontrer cette formule là alors d'abord juste une peu un petit point ici je dis que c'est l'équation canonique d' une hyperbole ça évidemment c'est une hyperbole qui s'ouvre du côté de l'axé des abscisses donc c'est une hyperbole qui est comme ça il peut très bien y avoir d'autres hyperbole et notamment des hyperboles qui s'ouvre vers l'axé des ordonnées comme ça ou même vers d'autres axes oblique mais en fait tout c'est hyper beau là on peut les obtenir en faisant des changements de variable donc un changement de repères et dans ce cas là on arrive à cette équation là une équation de cette forme là et puis autre chose je vais rappeler rapidement ce qu'on peut dire de cette hyperbole là alors je vais faire très rapidement un graphique voilà donc ça c'est mes deux axes ici j'ai donc lax dx est ici c'est la kz2 y ici j'ai l'origine du repère et donc l'hyperbole qui représentez ici en fait elle va avoir deux à 100pts note voilà ça c'est une première à symptômes qui passe donc par l'origine et puis une deuxième qui a une pente opposé que la courbe représentatif de cette parabole et bien je peux la dessiner comme ça elle va passer par un point que je peux mettre ici qu'est le sommet et un autre point que je peux mettre ici quel sommet qui est sont opposés donc on va avoir deux branches une première comme ça voilà et une deuxième comme ça symétrique par rapport à l'axé des ordonnées donc ça c'est mon hyperbole est ce qu'on avait dit c'est que en fait il y à des foyers c'est à dire deux points alors c'est un un premier foyer ici un deuxième foyer là qui est opposé donc ici en fait c'est un point qui a pour coordonner 0 et f on va dire et ici c'est zéro et moins f donc son app cissé - f est-ce qu'on avait appelé la distance focale c'est la distance entre ses deux foyers donc c'est toute cette distance ici est donc ce petit f qui est là en fait c'est ce qu'on appelle la 2000 distance focale et c'est cette distance là qu'ils s'appellent est fait donc on va essayer de démontrer que cette distance-là est égal à racine carrée 2 à o car est plus bo carré alors pour ça il faut qu'on se rappelle d'une autre manière de définir une hyperbole ici on la définit par une équation est en fait il ya une autre manière c'est de définir les pères l'hyperbole comme on fait avec les comics en général comme le lieu de points qu'ils vérifient une certaine propriété alors cette propriété là justement elle va faire intervenir les deux foyers qui sont ces deux points là et ce qui va se passer c'est que si je prends un point n'importe lequel sur ma parabole donc par exemple ce point là il a pour coordonner x y et en fait il est situé à une certaine distance que je vais appeler d1 du premier foyer et une certaine distance des 2 du deuxième foyer alors ça ça va nous servir à définir notre hyperbole parce qu'en fait cette hyperbole là c'est le lieu géométrique des points qui vérifie cette relation là la différence entre d1 - d2 de la différence d1 et d2 en valeur absolue en fait elle est égale à deux fois le petit hack qui est ici voilà donc notre hyperbole en fait on peut la définir comme ça c'est le lieu géométrique des points de coordonnées x et y qui vérifie d1 - d2 égale deux fois ce petit taquet ici dans l'équation alors on va faire un peu de calcul il faut s'accrocher parce que les calculs qu'on va faire sont pas évidents mais tu vas voir que finalement on arrive à cette formule là qu est étonnamment simple je dirais donc ça vaut le coup le jeu en vaut la chandelle alors je vais déjà exprimé des uns la distance d un donc d un c'est égal à alors je vais avoir en fait la différence entre les apps hisse donc c'est une racine carrée et c'est la racine carette du carré de la différence entre les abscisse donc ici l'abscisse du point m qui est ici c'est x - l'abscisse du foyer kiev ça c'est la première chose plus les ordonner alors j'ai l'ordonné du point y - l'ordonné de ce point qui est zéro donc ici je vais avoir juste plus y au carré ça c'est des uns et des deux bus est tout à fait une formule analogues on va avoir ici la différence entre l'abscisse 2 x et l'abscisse de ce point de ce deuxième foyer donc c'est x - - f x - - f au carré plus la différence désordonnée qui ici d'un y au carré aussi différence désordonnée élevée au carré alors ça je vais là écrire un peu mieux donc ça me donne racine carrée de x + f au carré le tout au carré plus y au carré voilà partir de ça que je sais qui est vrai puisque c'est mon hyperbole et ça ça caractérise mon hyperbole pour ici j'ai des valeurs absolues ce qui n'est pas très pratique je vais m'en débarrasser tout simplement je fais supposer que ici c'est des deux qui a l'air plus grand que d un donc je vais me coller sur ce dessin si c'est pas le cas de toute façon il suffit d'inverser les calculs un donc ça n'a aucune importance donc en fait je vais expliquer ça comme ça je vais dire que des deux - des halles doit être égale à 2 à seul exemple que je prends ici et du coup que des deux doit être égale à 2 à plus d un donc ici je vais élevé tout au carré parce que comme dans les dessins et les d2 j'ai des racines carrées c'est pas une mauvaise idée de d'élever au carré ça va peut-être simplifiée des choses donc je vais avoir des deux au carré égal 2 à 2 à plus d 1 le tout au carré donc ça cij les flops ça fait 4 à au carré +2 à x 2 x d1 dont +4 à foix d1 plus d un au carré alors maintenant je vais pas pouvoir y couper je vais être obligé de remplacer d1 et d2 par les expressions que j'ai écrites ici donc je vais aller ici des deux au carré ses racines carrées 2x plus c'est faux car et plus y au carré le taux élevé au carré donc ça va me donner exactement x + f au carré plus y au carré signe égal g4 à au carré plus quatre fois à fouad est un donc je vais l'écrire comme ça c'est quatre fois à foix racine carrée - f au carré plus y au carré plus d 1 au carré qui est le carré de cette racine carrée donc en fait c'est x - zf au carré plus y carré pour l'asec toujours un peu compliqué mais c'est quand même pas mal il ya déjà des simplifications qu'on peut faire j'ai y carré des deux côtés et puis j'ai ici x plus est faux car et x moiseff au carré donc si je développe je vais probablement arriver à simplifier des choses alors je vais développer ça ça me donne xo carey + 2 f x + f au carré de l'autre côté j'ai 4 ha au carré auquel je touche page et +4 à foix racine carrée 2x moins zf au carré plus y au carré plus ça que je vais développer x au carré - 2 x f + f au carré voilà alors là je simplification gx au carré avec les deux côtés gf au carré des deux côtés et puis j'ai donc ces 2 - 2 xf que je vais passer de l'autre côté alors ça va me donner 4 xf comme tu préfères ou fx égale 4 ha au carré +4 à foix racine carrée 2x moins zf au carré plus y au carré voilà leurs pensées lancer dans des calculs assez compliqué c'est quand même utile de revenir un peu en arrière pour pas oublier ce qu'on est en train de faire on est en train de d'exprimer cette relation la d2 - b un égal 2 à en fonction des coordonnées de x et de y de se pointer ici et notre but c'est d'arriver à trouver une expression cette expression là delà de la 2me distance focale qui est ici donc voilà on ne sait pas inutile de quand on se lance dans des grands calculs de rome s'arrêtait un petit peu pour se rappeler ce qu'on est en train de faire sinon parfois on oublie bon ici j'ai un facteur 4 qui apparaît à tous les termes donc ça je peut diviser tout par quatre et puisque je vais faire en fait c'est écrire ça comme ça je vais donc avoir x f - à au carré qui doit être égale à un facteur 2 x moiseff au carré plus y racine carrée 2x moisés foccart est plus y carré je vais développer tout ce qui est sous la racine carrée mais ça sera fait une fois pour toutes donc x au carré - 2 x f + f au carré plus y au carré voilà et maintenant je vais élevé tout au carré donc si j'élève le premier membre au carré je vais avoir alors x f au carré donc x au carré fois f au carré plus à puissance de au carré c'est à puissance 4 - 2 x f x à au carré ça c'est juste ce membre la développer et puis de l'autre côté c'est plus simple je vais avoir à au carré facteur 2 x au carré enfin le carré de toute cette racine carrée donc c'est en fait tout ce qui est dans la racine carrée et je vais tout de suite développé ça sera peut-être plus simple et donc ça va me donner ça à oka ray x x au carré - 2 x f + f au carré plus y au carré on commence à avoir quelque chose qui se simplifient déjà on a plus de racines carrées ça c'est une bonne nouvelle il faut pas perdre espoir et on va continuer à travailler donc déjà si je développe ce terme là alors je vais leur écrire en développant ce le membre de droite donc gx au carré fois f carré plus à puissance 4 - 2 x f x à au carré qui va être égal à à au carré x x au carré - 2 x f x à au carré plus à au carré fois fo carré plus à au carré x y au carré alors ça c'est pas mal parce que du coup j'ai quand même des choses que je peux simplifiée j'ai ce terme là qui apparaît des deux côtés alors maintenant je vais mettre toute les étapes qui contiennent les coordonnées de nous de mon point m donc les termes en x et y d'un côté et les autres termes de l'autre côté donc je vais avoir ici x au carré est faux carré - à au carré x x au carré - à au carré fois y au carré et ça ça doit être égale à alors je sais - ici j'ai oublié un quart et un c'est ce terme là que j'ai passés de l'autre côté et puis ici donc je vais avoir à au carré fois fo carré - à puissance 4 alors je vais factoriser ce que je peux factoriser ici je vais avoir f au carré - à au carré facteur 2 x au carré - à au carré fois y au carré et puis ici ben je veux et m à puissance de en facteurs donc je vais avoir à au carré fois f au carré - a au carré alors là on est presque au bout de nos peines tu vois que j'ai ce facteur est faux car et moi au carré est ici aussi en fait je vais tout / est faux car et moi au carré ici ce terme là je vais le / est faux car et moi au carré donc qui va me rester x au carré - à au carré facteur de y au carré / f carrez - za au carré et ça c'est gala à au carré alors on se rapproche vraiment de quelque chose qui nous intéresse puisque je te rappelle ne perdons pas de vue qu'on parle de cette hyperbole là donc on sait que x au carré sur ao carhaix - y au carré sur bo carré c'est égal à 1 ça c'est évidemment notre point de départ donc ici j'aimerais bien avoir un ici donc je vais tout / à au carré et donc voilà j'obtiens ici x au carré / à au carré c'est très intéressant parce que c'est ce qui apparaît ici dans l'équation de mon hyperbole xo carey / à au carré et puis ici egea au carré faut y aux quarts et surtout ça je vais / à au carré donc il va me rester y au carré sur f carré - za au carré et ça du coup c'est égal à au carré / à au carré donc à alors tu vois que là c'est vraiment quelque chose d'intéressant puisque l'équation notre hyperbole de cette hyperbole dont on parle c'est x au carré sur à au carré - y au carré sur b au carré égal 1 donc là en fait on a terminé puisque si on compare ces deux expressions ici on à ixxo carrés sur à au carré ici aussi et on enlève y au carré sur bo carré ici on enlève y au carré sur rfo carré - 0 carré donc ce terme là ce terme est là et bien c'est d o car est donc finalement on trouve cette formule là f au carré - à au carré égal b au carré du coup f au carré c'est égal là je pense que tu vois où je veux en venir je vais l'écrire comme ça f vos carrés c'est à au carré plus bo carré et donc f la 2me distance focale c'est la racine carrée 2 à o car est plus b au carré voilà et ça c'est la formule qu'on cherchait à démontrer que je t'avais déjà annoncé dans une dernière vidéo et que j'avais écrites ici voilà donc c'est beaucoup de manipulations beaucoup d'algèbre des calculs assez compliqué il faut pas se perdre en cours de route mais bon voilà si tu es arrivé là c'est très bien c'était courageux de tapas et donc j'espère que tu as réussi à bien suivre à bientôt