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Établir l'équation d'une parabole connaissant son foyer et sa directrice

Transcription de la vidéo

alors la courbe que j'ai dessiné ici en jaune c'est une parabole et si tu as vu les vidéos qu'on m'a faite sur les paraboles tu dois souvenir peut-être que la parabole en fait on la définit comme étant l'ensemble des points qui sont équidistant d'un point donné ici f et d'une droite donnée ici 7/3 2-6 en bleu voilà alors en général c'est comme ça qu'on définit une parabole et le point f s'appelle le foyer et la droite c'est la directrice de la parabole alors ici j'ai pris un cas particulier un petit peu pour simplifier en fait la directrice de la parabole d'une droite horizontale d'équations y hegalka dans le cas général cette droite peut être n'importe quel autre droite du plan d'eau mais finalement ça c'est pas très important et ici ce qu'on va faire c'est dans ce cas si dans le cas d'une parabole comme celle là on va faire un petit peu d'algèbre pour essayer de déterminer l'équation cartésienne de cette parabole en fonction des coordonnées du foyer et de l'équation de la directrice et en fait ce que je vais faire si je vais prendre un point quelconque sur la courbe par exemple un point ici et ce point si ça va être un point de coordonnées x y voilà donc ce qu'on a dit c'est que si c'est un point de la parole de la parabole ça veut dire que il doit être équidistant du foyer et de la directrice donc cette distance si distance du point de corner xy de la parabole au foyer de la parabole doit être égale à la distance du point de la parabole à la directrice voilà cette distance-là donc ce segment si et ce segment ci doivent avoir la même longueur alors maintenant on va essayer de traduire sa en langage algébrique 1 donc on va essayer déjà de calculer la distance de ce point à la directrice mais pour faire ça ce qu'il faut faire c'est projeté ce point orthogonale mans sur la directrice voilà donc on va faire ça alors on peut tout de suite calculé cette distance là assez facilement en fait ça va être la différence d ordonner un entre ce point ci et ce point si ce point-ci là pour ordonner k1 ici ces cas et ce point ci il a pour ordonner y voilà donc la distance qui est là je vais là noté ici c'est y - k alors bon c'est pas tout à fait ça il ya un petit problème c'est que là tels que je les dessine et la parabole est situé au dessus de la de la directrice donc là coordonnées y est plus grande que cas ce qui veut dire que cette expression là est positive c'est ce qu'il faut quand on parle de distance mais on peut très bien avoir le cas d'une parabole alain à l'envers situé dessous sous la directrice dans ce cas-là ça ça sera négative donc dans ce cas là on n'aura pas une distance ce qui veut dire qu'il faut que je en fait que je prenne la valeur absolue que d'une certaine manière de cette expression là et en fait je vais pas prendre directement la valeur absolue ce que je vais faire c'est que je vais prendre y - k élevée au carré et que je vais prendre la racine carrée de tout ça hein et en fait ça se reconnaît un c'est l'expression de la distance en général d'un point à un autre alors on sait que si le point de coordonnées x y appartient la parabole cette distance là elle va être égal à la longueur de ce segment là alors ici pour calculer la longueur de segments us comme c'est un segment oubli quintin n'est pas horizontale ou verticale donc on est obligé d'utiliser la formule de la distance qui en fait n'est rien d'autre que le théorème de pythagore alors on va aller un petit peu vite là dessus si tu te souviens pas de comment ce qu'on calcule la distance entre deux points tu peux aller regarder les vidéos sur la khan academy en tout cas ce qu'on va faire c'est prendre le car et de la variation des abscisses donc ici on passe de l'abc 6 à l'aps is a donc la variation cx - za et je prends le carré de cette variation voilà plus la variations désordonnées qui du coup va être y - b y - b et je prends le carré de cette variation ne s'agit pas de problème de signes et puis la distance entre ces deux points finalement c'est la racine carrée de toute cette expression la voilà alors là tu vois on obtient quelque chose qui est en fête et déjà l'équation de la parabole en fonction de qu'a2a et dub et donc des coordonnées on va dire de la directrice et du foyer bon alors évidemment cette équation là n'est pas sous une forme très classique donc on va la travailler un petit peu pour arriver à quelque chose de plus visible alors il ya quelque chose que je peux déjà faire c'est élever les deux membres au carré du coup à gauche si je lève au carré je vais avoir y - k élevée au carré et ça ça doit être égale à celle eve ce membre là au carré du coup la racine carrée disparaît et jeu il reste x - za élevée au carré plus y moimbé élevée au carré voilà alors là on peut remarquer que si on développe ce terme là on aura un y au carré et si on développe ce terme là on aura aussi un y au carré donc ça serait pas mal de développer parce que comme ça les termes en y au carré vont s'annuler alors ici quand je développe ce terme là donc je fais y moins qu'à x y mon cas j'obtiens y au carré - deux cas y plus qu'à au carré ça c'est tout simplement une identité remarquable et ça ça doit être égale à alors je vais je vais laisser ce terme là tu es lequel puisqu'il ya que des x 1 je verrai un pouvoir faire avec donc je laisse x - za élevée au carré et puis ce terme-là y moimbé élevée au carré je vais le développer aussi et ça va me donner y au carré - 2b y plus b au carré et là on voit que ce que je disais tout à l'heure on peut simplifier ses y au carré on à y si j'enlève y au carré aux deux membres ils vont ces termes là vont disparaître du coup il nous reste moins deux cas y plus qu'à au carré et gallix - a le taux élevé au carré - 2b y plus bo carré alors là je vais essayer d'isoler y pour avoir une forme qui sera du style y égale quelque chose en fonction de x donc je vais faire passer tous les termes en y du même côté ce qui veut dire que je vais en fait ajouté 2b y alors je ça va me donner ça je vais avoir deux baies y moins deux cas y plus qu'à au carré là j'ai déjà ajouté deux buts grecs de ce côté là et ça ça va être égal à x - usa le tout élevée au carré - 2b y plus de ben y donc sas les deux baies y danse annulé donc je l'aimais pas et il va rester quand même ce plus b au carré alors bon maintenant je peux encore faire d'autres choses déjà je pourrais me débarrasser de ce chaos carré et le faire passer de l'autre côté alors je peux déjà faire ça en fait il faudrait que je soustrais cas au carré ou de membres donc l'âge si je soustrais chaos car escales au carré va disparaître et là je vais avoir moins qu'à au carré voilà et puis si je regarde ces deux termes là en fait je peux factoriser ici 2 y donc c'est ce que je vais faire ici je vais avoir alors j'ai avoir je peux même je vais avoir deux y x b - k et en fait je peux même l'écrire comme ça je vais l'écrire plus tôt comme ça ça va être deux fois b - k deux fois b - cas x y juste un peu plus joli de l'écrire dans cet ordre là mais c'est exactement la même chose et ça ça va être égal à x - usa le tout élevée au carré plus bo carré - k au carré voilà maintenant pour finir d'isoler y je vais diviser les deux membres par ce coefficient la 2 x b - k alors c'est ce que je vais faire donc je vais divisé ici par deux fois b - k et puis du coup je vais diviser chaque terme ici par deux fois b - k voilà ça aussi je le divise par deux fois paix - k du coup je peux faire simplifier un certain nombre de choses déjà ces deux termes là se simplifie donc aux membres de gauche j'ai il ne reste plus que y c'est ce que je voulais alors ensuite de ce côté-là gx - za élevée au carré / 2 b - k deux fois b - k voilà plus ce terme là alors ce terme là tu as peut-être remarqué qu'en fait on peut le simplifiée puisque ici ce que j'ai c'est une différence de carhaix donc c'est une identité remarquable je vais l'écrire ici un bo carré - k au carré en fait c b - k x b plus qu'à et du coup quand je divise bébé au carré - chaos car et par deux fois b - k et bien en fait je vais je divise tout ça par deux fois b - k et le facteur b - cas se simplifient puisqu'il apparaît au dénominateur à eux deux et au numérateur et donc finalement ce terme là est égal à b plus qu'à diviser par deux voies la paix plus qu'à diviser par 2 je vais le mettre ici mais plus qu'à diviser par deux voilà et là on obtient une relation qui est exactement l'équation d'une parabole arthur connaît peut-être certains éléments de la forme canonique que tu habitués à utiliser depuis longtemps avec ce terme en x o car est là et ce qui est important c'est que dans cette équation là qui représente notre parabole et bien apparaissent les coordonnées du foyer a et b est en quelque sorte les coordonnées de la directrice en fait l'équation de la ti de la directrice qui est le terme cat on retrouve là et la voilà donc ça c'est l'équation de la parabole en fonction des coordonnées du foyer et de l'équation de la directrice ce qu'on cherchait à déterminer alors on peut prendre un exemple je vais prendre un exemple d'une parabole dont le foyer aura pour coordonner on va dire 1 2 1 2 et la directrice la directrice ça va être la droite d'équations y égales - 1 alors pour ça il suffit que je remplace dans cette équation là les coordonnées du foyer par leur valeur et la valeur de cas l'équation de la directrice alors je vais avoir ici y égal à x - ça alors as est égal à 1 donc je vais avoir ici x - 1 élevée au carré divisé par deux fois alors bc2 et il est cassé -1 donc b - cast ces 2 - - c'est-à-dire 2 + 1 c'est à dire 3 donc ici je vais avoir deux fois trois plus ensuite bplus kbc 2 est cassée moins un danger plus ce cas c'est un donc ici g12 me voilà alors on y est presque je vais juste écrire faire ce produit là donc j'ai en fait l'équation c'est y égale x - 1 au carré / 6 + 1/2 alors je vais la réécrire d'une manière un petit peu plus jolie y égal alors je vais avoir ici un sur deux fois 3 donc un sixième x x - 1 élevée au carré + 1/2 et donc là j'ai l'équation de la parabole de foyers le point 1 2 et de directrice la droite d'équations y égales - 1