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Trouver le foyer et la directrice d'une parabole à partir de son équation

Transcription de la vidéo

alors ce que j'ai écris ici c'est l'équation d'une parabole cette équation qui la représente une parabole est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est essayer de trouver des techniques pour à partir de cette équation d'une équation de 7 ce style-là trouver les foyers et la directrice de la parabole que représente cette équation alors je vais commencer déjà par écrire l'équation de cette parabole sous une forme un petit peu plus habituel bon c'est pas absolument nécessaire mais moi je préfère toujours faire comme ça parce que comme ça j'y vois un peu plus clair donc je vais en fait passer ce terme là de l'autre côté pour isoler y donc je vais avoir donc j'ajoute 23 car donc j'aurai y égal moins un tiers de x - 1 au carré +23 car +23 car ça c'est une équation un petit peu plus habituel alors maintenant on va se rappeler un petit peu de ce qu'on a vu dans une autre vidéo concernant une parabole de foyers et de directrice donné alors j'ai à préparer ça ici ça c'est ce qu'on a vu dans une autre vidéo si on a une parabole dont le foyer pour coordonner ab est une directrice d'équations y hegalka et bien l'équation de cette parabole elle est donnée ici y égal 1 sur 2 x b - k donc b - cas c'est la différence entre l'ordonné du foyer et la constante cas de la directrice donc 1 sur 2 b - cas x x moisa au carré + b + qu'à diviser par deux alors évidemment il ya une première méthode qui marche dans tous les cas c'est de procéder par identification parce qu'on peut déjà en déduire un certain nombre de choses déjà on peut voir que ce terme là x moins élevée au carré il correspond nécessairement à ce terme si x moisa élevée au carré cette partie là donc de ça on peut se rendre compte tout de suite que notre inquiets la c1 qui est là c'est le petit a donc c'est l'abscisse du foyer ici à est égal à 1 donc le foyer il aura pour abscisse ça c'est une première chose ensuite on peut identifier ce coefficient la moins un tiers à cette partie là donc moins un tiers c'est un sur deux b - k et puis le troisième terme qui est celui ci 23 quart 23 car on peut l'identifier à ce terme là hein donc par identification on a un certain nombre d'indications on en déduit immédiatement la valeur de à l'abc du foyer et puis quand on identifie ce coefficient à ce coefficient 6 en fait on peut en déduire une équation qui va qui sera en terme de b - k donc on va avoir des moins qu'à égale quelque chose une équation qui fait intervenir b et k puis on va obtenir une deuxième d'équations quand on va dire que ce terme aussi est égal à ce terme si ça c'est une équation qui va nous permettre de trouver la valeur de bplus cas donc on aura en fait deux équation à deux inconnues b et k donc finalement un système de deux équation à deux inconnues qu'on peut résoudre par des techniques habituelles alors ce que je vais faire dans cette vidéo c'est pas appliquer cette technique là parce qu'elle est assez mécanique et je pense que tu peux le faire tout seul là ce qu'on va faire c'est utiliser un petit peu plus de connaissances sur les paraboles pour essayer de d'identifier le foyer et la directrice complètement alors il ya une première notion qu'on a utilisées souvent dans le cas d'une parabole c'est celle de somer on avait parlé du sommet d'une parabole alors je te rappelle que si tu as une parabole comme ça orienté vers le haut le sommet s'est en fait le point qui aura ordonné minimal c'est ce point ci est situé au contraire une parabole qui est orienté vers le bas comme ça et bien le sommet c'est le point qui aura une heure donnée maximale voilà je vais effacer ça hein est-ce qu'on peut déterminer à partir de cette équation là le sommet de la parabole alors dans le cas de cette parabole ici on a ce coefficient là qui est négatif à - un tiers ce qui veut dire que notre parabole ici elle est en fait orienté vers le bas et on peut s'en rendre compte aussi en se disant que l'a finalement x - au carré c'est toujours positif et quand on multiplie par ce nombre négatif on a fait ce cette partie là est négative donc ce qu'on fait finalement c'est qu'on part de 23 cars et qu'on enlève toujours quelque chose de positif donc la valeur maximale de notre parabole ses 23 car donc le sommet il a pour ordonner 23 car ça c'est sûr et cette ordonné elle est atteinte pour la valeur de x qui annule cette partie 6 1 ce qui y sera égal à 23 cartes si tout ça c'est égal à zéro alors quand est ce que tout ça c'est égal à zéro ben quand x - 1 est égal à zéro c'est à dire quand hicks est égal à 1 donc finalement on peut en déduire que le sommet de la parabole le sommet il a pour coordonner le point d'apsys 1 et ordonnée 23 quart 23 car voilà alors ça ça nous donne déjà une indication sur la parabole je peux commencer par tracer un petit peu quelques éléments voilà donc je vais faire un repère avec en abscisse l'éclat coordonnées x en ordonner la coordonnées y je vais prendre d une échelle sur ces deux axes donc je veux dire que ici c'est un sas est un et là du coup ces deux ça c'est l'échelle en abscisse en ordonnée il faut que j'aille jusqu'à faut que je puisse passer le sommet qui sera une heure donnée de 23 car 23,4 ça fait 5 + 3/4 donc il faut que je puisse aller jusqu'à 6 alors je vais faire 1 2 3 4 5 6 et 7 voilà on va faire ça déjà du coup je peux placer le sommet quel point de coordonner 1,23 car alors 23 car ces cinq et trois cartes donc c'est à peu près ici voilà donc le point sommaire le sommet de la parabole il est ici c'est le point de coordonnées 1,23 car du coup ça veut dire que la parabole va ressembler à quelque chose comme ça quelque chose comme ça c'est une parabole inverser ça on le sait parce que on a dit tout à l'heure que 23 cars étaient un maximum pour cette parabole alors là ça c'est le sommet comment est ce que je peux en déduire le foyer et la directrice de notre parabole puisque c'est ça qu'on cherche alors le foyer ce que je sais c'est que il va avoir le même avis que le sommet en plus comme le sommet est un maximum en fait il est en dessous du sommaire donc le foyer de la parabole il va être quelque part par là alors là pour l'instant je vais le mettre là là je mets au hasard un petit peu et comme le sommet appartient la parabole il est écrit distant du foyer et de la directrice donc en fait cette distance là on doit la retrouver ici aussi et ici on doit avoir la directrice que je mets un petit peu au hasard comme ça donc ça c'est la directrice et les pour l'équation y hegalka est ce qu'on doit arriver à déterminer c'est la valeur de ce cas et puis ce point là c'est le foyer de coordonner à b alors on sait que a est égal à 1 puisque c'est la même avis que le sommet alors maintenant pour déterminer et b et k en fait on va représenter cette distance là on va partir de cette distance là là leur présenter ici cette distance là et en général la distance qui est ici c'est la différence désordonné en valeur absolue donc de manière générale on peut représenter cette distance là en disant que c'est la valeur absolue de b - k et ici comme la directrice est forcément au-dessus du sommet est en fait la valeur de absolue de b - cas et bien ces cas - b puisque cas est plus grand que b donc là on a bien un nombre positif et si on arrive à déterminer cette valeur cas - b eh bien on pourra à partir du sommet ajoutez la moitié de cette distance là pour trouver cas ou bien enlever la moitié de cette valeur donc enlever cette distance là pour trouver leur donner du foyer voilà donc le tout c'est d'arriver à déterminer cas - b est en fait pour faire ça on va revenir à notre identification qu'on a fait ici un on m'avait dit que ce coefficient l'a1 divisé par deux facteurs de b - k eh bien c'était ce coefficient qu'on retrouvait ici donc moins un tiers donc on sait que 1/2 x b - cas est égal à moins un tiers voilà alors je peux passer aux inverse comprendre les inverse de chacun des membres donc je vais avoir deux fois b - cas qui sera égal à linverse de moins un tiers c'est moins 3 et là je peux / 2 j'obtiens que b - cas est égal à -3 2 me et nous ce qu'on cherche c'est pas b - kck moimbé donc je vais prendre l'opposé de ça j'obtiens que cas - b est égal à trois demis cas - b est égal à trois demis donc cette valeur là c'est 3/2 c'est cette distance qu'on retrouve ici un voilà ça c'est 3/2 alors maintenant on va calculer leur donner du foyer leur donner du foyer ces petits berges avait appelé petit b et bien en fait celle ordonnée du sommet qui est ici donc 23 car moins cette distance là qui est la moitié de cas - b donc la moitié de cas - b ces trois quarts donc baisser 23 car moins trois quarts et ça ça fait vingt carvin car ça fait 5 donc leur donner du foyer c5 je l'avais mis à peu près correctement tout à l'heure donc le foyer f il a pour coordonner 1 et 5 mais non on va trouver la valeur de cas et on fait exactement de la même manière en fait casser l'ordonné du sommet plus cette distance là qui est la moitié de came web et donc qui est trois quarts donc ce qu'on peut écrire c'est que qu'a ses 23 carlo redonner du sommet plus la moitié de b - cadre trois quarts et ça ça fait 26 car alors 26 car ces 24 car plus de cars donc ces 6 + 1/2 6 + 1/2 donc là je l'avais pas très très bien placé en fait il aurait fallu que la place un petit peu plus bas ici voilà donc finalement la directrice est là pour équation y égale 26 car et donc tu vois que en étudiant cette équation l'a bien on arrive à déterminer le foyer et la directrice de la parabole