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L'hyperbole (introduction)

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo on va se concentrer sur une section conique que tu connais qui est l'hyperbole alors ici pour commencer je t'ai rappeler les équations caractéristiques de deux sections conique que tu connais bien ici c'est l'équation d'un cercle de centre l'origine du repère et de rayons air et ça c'est l'équation d'une ellipse de centre l'origine du repère aussi et dax petit à petit b voilà alors déjà je voudrais faire une petite remarque c'est que l'équation d'un cercle que donner deux sous cette forme là et est un cas particulier de l'équation d'une ellipse et ça je peux le voir tout simplement en divisant par air au carré les demandes donc j'obtiens ici x au carré / r au carré plus y au carré / r o car est égal et rocard et / et rocard est c'est à dire un et tu vois que là on retrouve tout à fait la formule de l'ellipse qui est là la seule différence c'est que le petit accès de grands axes ont tous les deux ego ils ont la même longueur qui est air et du coup effectivement on peut voir le cercle comme une ellipse dont le grand axe et le petit axe cause ont la même longueur et donc finalement on obtient une ellipse dans laquelle la distance d'un point de l'ellipse au centre de l'ellipse et constante qui effectivement un cercle alors maintenant on va se concentrer sur les hyperboles est en fait l'hyperbole l'équation cartésienne une hyperbole va avoir une forme tout à fait proche de celle ci dans le cas d'une ellipse on a en fait une somme de quart et une somme de 2 carey qui doit être égale à 1 et dans le cas de l'hyperbole ça va être une différence de cars et donc on peut avoir une hyperbole qui aura pour équation quelque chose de ce genre là x carrés sur à au carré - y au carré sur b o car est égal à 1 voilà donc là on a une différence de carey qui est égal à 1 et c'est l'équation d'une hyper bol bois aussi évidemment considérer cette différence de carre l'art y au carré sur bo carré - x au carré sur à o car est égal à 1 voilà et dans ce cas là un film suit ivement tu peux voir que on a une hyperbole aussi on a simplement interverti les rôles de x2 y voilà alors comment est-ce qu'on peut tracer une hyperbole pour tracer une hyperbole il faudrait déjà arrivés à trouver ses asymptote et pour ça évidemment tu peux toujours te référer à ton cours en général les dons ont cours tu vas trouver l'équation des asymptote d' une hyperbole donné sous cette forme là mais bon comme d'habitude je pense qu' il vaut mieux garder sa mémoire pour retenir les choses qui sont compliquées et difficiles à retrouver là c'est pas le cas on peut facilement retrouver les assassins petiote de cette hyperbole là est en fait pour ça je te conseille de te ramener toujours à l'hyperbole usuels que tu connais qui a pour équation x/y égal car cas est une constante et donc on sait que les à 70 de cette hyperbole là sont les droites d'équations x et gagnent 0 et y égal 0 donc ce sont les axes du repère alors on va essayer de se ramener à 7 à une hyperbole de cette forme là alors pour ça je vais manipuler un petit peu cette équation là et en fait la seule chose que je peux commencer à faire ses remarques et qui cyclage et une différence de cars et donc c'est une identité remarquable donc je vais pouvoir factoriser ça ça va me donner x / a - y / b voilà un premier facteur facteur 2 x / à plus y sur b égal à 1 maintenant je vais arranger un petit peu tout ça en mettant tous au même dénominateur donc la première parenthèse je vais pleuvait l'écrire comme ça cbx moins à y le tout divisé par la fois b et puis la deuxième parenthèse je vais l'écrire comme ça ça va être bx plus à y le to x / ab pardon et ça ça doit être égal à 1 et là je peux multiplier le tout par hab a b x ab c'est à dire à au carré vous avez au carré et j'obtiens cette équation la bx moins à y x bx plus à y égal à hao carré fois bo carré et peut-être que tu vois là tout de suite ce qu'il faut faire en fait c'est un réflexe qu'il faut souvent avoir à faire un changement de variables on va dire que ce terme si on va l'appeler grand x et ce terme si je vais l'appeler grant y est donc cette équation là je peux la réécrire de cette manière là c'est grant xx x grant y égal à hao carré fois bo carré tu vois que là on a exactement une équation de cette forme siens avec en termes de garantie que ces deux grands y du coup on sait que les asymptote de cette parabole là elles ont pour équation grand x égal zéro et grands y égal zéro alors pour tracer effectivement c'est de droite dans leur père d'origine eh bien il faut ré exprimer ses deux équations là en termes d petit hic c'est des petites y un des coordonnées petit hic ces petites y donc ça je vais le faire cette condition là grand x égal 0 bien c'est tout simplement dx moins à y égal 0 donc là on obtient une première équation de droite en fonction de petit hic ces deux petites y je vais l'écrire de manière réduite sous la forme réduite donc je vais faire passer ce terme là de l'autre côté et puis je vais / ha et je vais obtenir y égale b / à x x donc ça c'est une première à 70 et la deuxième à saint paul je l'obtiens en travaillant sur cette équation la grande y égal 0 c b x x plus à y égal zéro ça c'est une équation de droite aussi donné sous forme cartésienne et je vais écrire sa forme réduite qui est y égales - b / a x mais là c'est donc la deuxième asymptote 2 mon ip rebelles donc finalement les asymptote je vais écrire ici un les asymptote et bien c'est y égale plus ou moins b / à x x donc tu vois tu peut assez facilement retrouver les équations des asymptote de l'hyperbole alors maintenant on va essayer de la trace et cette hyperbole donc je vais faire un petit peu de place alors je vais faire un repère l'axé des ordonnées l'axé des abscisses donc ici j'ai des petites x là les petites y est ça c'est l'origine du repère alors les asymptote vont nous aider à trouver la lure de la courbe un donc je vais les tracés ici en jaune j'ai une première à symptômes qui va être comme ça elle passe par l'origine du repère et puis une deuxième qui va être comme ça donc celle là par exemple c y et galbées sur à x x et celle là c'est par exemple c'est l'autre c'est y égales - b / à x x ça tout dépend des coefficients des signes de heide b alors je sais que ces deux droites la sonde et asymptote ce qui veut dire que j'ai plusieurs possibilités en fait une première possibilité c'est que la courbe représentatif de l'hyperbole soit comme ça elle s'éloigne de la droite d'équations y et galbées sur a et elle se rapproche de la droite d'équations ny égales - b / à x x ça c'est une première branche de l'hyperbole et puis la deuxième branche du coup elle serait de l'autre côté du côté opposé donc elle va ressembler à quelque chose comme ça voilà à peu près ça c'est une première possibilité mais il ya aussi une deuxième possibilité qui serait celle ci c'est à dire que l'hyperbole se placerait se situerait dans ces deux zones la du plan c'est à dire qu'elle elle serait un petit peu au dessus de saas de 7 à 70 là est un petit peu au dessus de la deuxième à 70 aussi voilà et du coup la deuxième branche se situerait ici en dessous des asymptote c'est à dire comme ça voilà donc évidemment bon notre asymptote n'a que deux branches donc ça peut pas être ces quatre portions de courbes que j'ai ici d'abord ça représenterait pas une fonction donc le problème maintenant c'est de trouver une manière de déterminer où est notre hyperbole est-ce que c'est celle ci en rose ou bien est-ce que c'est celle que j'ai tracée en bleu alors il ya plusieurs manières de voir ça la plus simple je pense est de remarquer que dans la partie bleue que j'ai tracée ici et bien la valeur x ne peut pas être nulle la valeur y peut être nul mais pas la valeur x dans la partie rose c'est le contraire la valeur x peut être nul mais pas la valeur y alors si je regarde l'équation de l'hyperbole c'était celle ci s'était x au carré sur à au carré - y au carré sur b o car est égal à 1 et là on peut s'apercevoir que si je remplace x par 0 et bien j'obtiens l'équation - y au carré sur b o car est égal à 1 et ça c'est impossible puisque ici j' y aucun récit au bo carey qui est positif forcément puisque c'est un carré et je prends l'opposé de ce nombre positif donc ce qui est ici c'est un nombre négatif qui peut pas être égal à 1 donc ça c'est impossible impossible donc mon hyperbole ne peut pas couper l'axé des ordonnées ce qui veut dire que c'est nécessairement cette partie là que j'ai en bleu je leur passe en bleu voilà voilà alors ça c'est pour le cas de cette équation 6 1 x au carré sur ao carré - y au carré sur le b o car est égal à 1 je vais te laisser résonner sur ce deuxième cas qui en fait correspond à intervertir x et y et donc je pense que tu te rendras assez facilement compte que dans ce cas là on obtient les mêmes asymptote mais l'hyperbole sera cette fois ci cette courbe la celle que j'avais tracé en rose voilà donc cette première branche et cette deuxième branche voilà