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Tangente commune à un cercle et à une hyperbole (1 sur 5)

Transcription de la vidéo

le cercle d'équations x au carré plus y au carré - 8x égal zéro couple hyperbole d'équations x carrés sur neuf mois y aux carrés sur quatre égal 1 en deux points a et b on considère une droite de pente positive et tangente à la fois au cercle et à l'hyperbole l'équation de cette droite et alors on nous propose plusieurs choix possibles donc il faut trouver l'équation de cette droite là alors on nous dit que c'est une droite de pente positive ça c'est important je pense et qui est donc tangente au cercle et à l'hyper ben bon je pense que on va avoir besoin de plusieurs vidéos pour arriver à répondre à ce problème dans cette vidéo ce que je vais faire c'est juste essayer de bien comprendre bien cerner ce problème là donc on va commencer déjà par faire un croquis de la situation donc déjà j'ai un cercle de d'équations x au carré plus y au carré - 8x égal 0 alors évidemment pour que ce soit plus facile à tracer je vais essayer de faire apparaître le centre de ce cercle est le rayon de ce cercle dans l'équation pour ça je vais la réécrire de cette manière là x au carré - 8 x ici je laisse quelque chose puisque ce que je vais faire c'est essayer de compléter cette partie là pour faire apparaître un carré et donc ça c'est égal à zéro donc ici un je vais ajouter 16 donc j'ajoute c'est aussi de l'autre côté et je fais ça juste parce que maintenant cette expression qui est ici tout ça là c'est un carré cx -4 au carré x mois 4 au carré et donc finalement l'équation de mon cercle je peux l'écrire comme ça c'est x - 4 au carré plus y au carré égale 16 et cette forme là est beaucoup plus pratique puisque là on voit qu'on a un cercle de rayon racine carrée de 16 donc de rayon 4 et de centres de centres le point de coordonner 4 0 alors je vais faire un croquis bon toi tu peux faire un croquis à la main moi je vais le faire à la main aussi mais j'ai quand même puisque j'ai un ordinateur mais des de cette grille donc là c'est l'origine ici c'est la kz dx la celac ce d y donc le centre de mon cercle c'est le point de coordonner 4 0 qui est ici voilà et donc ce cerf qui passent par ce point là par ce point là l'origine par ce point ici et par ce point là d' alors je vais essayer de le tracer voilà c'est à peu près ça et puis ensuite j'ai une hyperbole d'équations xo carey sur neuf mois y vos carrés sur quatre égal 1 alors on a plusieurs vidéos sur l'économique sur la khan academy ch s'engage à les revoir si tu veux ça c'est une hyperbole qui va s'ouvrir dans le sens de lax des abscisses et d'ailleurs on peut trouver assez facilement les coordonnées de ces sommets puisque on les obtiendra pour y égal zéro donc pour y égal 0 on va avoir 6 au carré égale x carey sur neuf égale un donkey x au carré égale nov c'est à dire x égale plus ou moins trois donc on a un sommet de l'hyperbole qui est ici et puis un autre qui est ici qu'est pour abscisse -3 voilà ces tracés les asymptote de cette hyperbole alors ici tu peux aller regarder comment est ce qu'on fait pour trouver les équations des asymptote d' une hyperbole ici ce sont les droites d'équations y égale plus ou moins deux tiers 2 x plus ou moins deux tiers 2 x donc je vais les faire donc c'est une hyperbole qui est centrée sur l'origine donc les il est simple de passe par ici et quand je ne déplace de trois unités je monte de 2 donc elles vont passer par ce point là la première va passer par ce point là et la deuxième par ce point là voilà donc je vais tracé c'est à 70 voilà une et la deuxième je la trace comme ça voilà donc ça c'est les asymptote du coup mon hyperbole je vais la trace est comme ça voilà ça c'est elle seule la branche qui se rapproche de son un symptôme de l'autre côté c'est comme ça voilà elle se rapproche de la symptômes et puis j'ai la deuxième branche qui est de ce côté là et qui fait comme ça voilà donc ici on a les deux points a et b les points d'intersection de l'hyperbole avec le cercle donc ça c'est le point à on pourrait dire par exemple et ça c'est le point b et donc maintenant on va chercher une droite de pente positive qui est agente à la fois au cercle et à l'hyperbole alors si on regarde déjà les tangentes au cercle et bien pour avoir une tangente positive effectivement si je me mets si je prends un point qui est sur cette partie là du cercle ou sur cette partie là vers la tangente au cercle taurin de ces points-là aura une pente négative donc pour avoir une tangente positive une tangente au cercle positive il faut être sur cette partie là ici sur ce quart de cercle à ou bien sur ce quart de cercle là alors en fait on peut éliminer aussi cette partie là puisque dans cette partie là la tangente en n'importe quel point de l'hyperbole va avoir une pente négative on voit bien ici donc finalement on va se concentrer sur cette partie là du cercle alors on doit trouver une droite qui est en jantes à un point du cercle en cette partie là dans cette partie là et à l'hyperbole alors ça peut pas être cette branche là ici puisque en fait si je veut tracer une tangente au cercle à 7 dans cette partie là du cercle qui rejoignent l'hyperbole et la touche aussi donc qu'ils soient tangente aussi à l'hyperbole il faut nécessairement que le coefficient directeur la pente de 7 ans jantes là soit inférieure à la pente de la sainteté ici donc dans notre cas des deux tiers est en fait d'un autre côté si tu prends n'importe quel point de la de l'hyperbole et bien la tangente dans cette partie là va avoir une pente supérieure à celle de la symptômes donc supérieure à deux tiers dans notre cas puisque c'est ça qui permet à l'hyperbole de se rapprocher de son de son bassin de thau en tout cas si tu prends n'importe quel point que tu traces la tangente à l'hyperbole en ce point par exemple ici bien la pente de cette tangente est supérieure à la pente de la symptômes donc en fait on ne peut pas considérer une droite qui va être tangente au cercle en cette partie là et aussi à cette branche là de l'hyperbole donc les solutions qui nous reste c'est de trouver une droite qui va être tangente au cercle dans cette partie là et à l'hyperbole dans cette branche là donc a priori on va essayer de trouver une droite qui est quelque chose comme ça par exemple alors je vais en dessiner une voilà ça c'est une situation possible voilà on va s'arrêter là je reprendrai ce problème en plusieurs vidéos parce que c'est assez compliquée et il vaut mieux qu'on fasse ça en plusieurs fois