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Tangente commune à un cercle et à une hyperbole (2 sur 5)

Transcription de la vidéo

alors on reprend le problème quand on a commencé à traiter la dernière fois dernière vidéo et donc je te rappelle qu'on cherche maintenant une droite qui va être tangente à au cercle dans cette partie là et à l'hyperbole dans cette branche là voilà comme celle que j'ai tracée en orange alors cette droite elle a une équation par exemple une équation réduite que je peux écrire comme ça y est galles mx plus paix avec m qui est le coefficient directeur de la tangente ep l'ordonnait à l'origine de cette tangente donc pessah sera ce point là ici donc notre but c'est de déterminer m&p ici pour connaître exactement l'équation de notre droite alors évidemment tu pourrais être tentés de d'essayer de déterminer l'équation de la tangente en n'importe quel point du cercle et pu faire la même chose pour la tangente en n'importe quel point de l'hyperbole ça va être assez compliqué et ici il ya quelque chose qui va être beaucoup plus simple c'est d'utiliser les caractéristiques d'une tangente un cercle et à une hyperbole et si je prends par exemple dans le cas général la tangente à un cercle en fait c'est une droite qui ne coupent le cercle qu'une seule fois qui le touche sans couper si tu préfères alors je vais commencer par le plus simple c'est déterminer les coordonnées de ce point là des points d'intersection plutôt de ma tangente et de mon cercle donc les coordonnées de ce point pour vérifier cette équation là est aussi celle du cercle qui est donc x au carré ou plus y au carré - 8x égal zéro alors je en fait ce que je vais faire pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de cette droite et de ce cercle je vais déjà élevés y au carré à partir de cette équation l'a donc y au carré cm carré x car et + 2 mpx plus paix au carré et du coup maintenant je vais remplacer y au carré par cette expression là dans l'adéquation de mon cercle donc ça me donne x au carré plus tout ça donc m au carré x x au carré + 2 mpx plus paix au carré - 8x égal 0 alors je de quelques simplifications les termes en x au carré alors j'ai seul celui là est celui là donc je veux les écrire comme ça c'est un plus m au carré facteur 2 x au carré ensuite les termes en x eh bien j'ai celui là est celui là donc je vais l'écrire comme ça ça va me donner plus 2ème paix - 8 x x et puis le terme constance et p o car est donc plus p au carré et ça c'est égal à zéro donc on obtient finalement un polynôme 2° 2 que doivent vérifier les points les apsys des points d'intersection de la droite avec le cercle alors bon je te rappelle rapidement que si tu prends un polynôme ax au carré plus bx plus sait on sait que les racines de ce polynôme on peut les exprimer comme ça c'est x égal moimbé plus ou moins racine carrée du discriminant kébé au carré -4 à c divisé par deux à et ce qui est intéressant c'est que si le discriminant ici est positif on n'a strictement positif on a deux racines différentes donc dans notre cas deux points d'intersection et si par contre le discriminant nuls on a une seule racines donc c'est moi b sur deux a donc ici en fait un seul point d'intersection et en dernier lieu si le discriminant est négatif et bien ce polynôme n'a aucune racine donc ici aucun point d'intersection de ça correspond à différentes situations ici si je prends une droite qui n'est pas tangente au cercle voilà mais qui le coupe ça peut être celle ci par exemple elle coupe le cercle en deux points différents ça correspond au cas où le discriminant de ce polynôme est positif strictement positif et si j'ai une droite comme celle là par exemple qui ne coupent pas du tout le cercle et bien ça correspondra au cas où le discriminant de polinum est négatif strictement négatif et le cas qui nous intéresse le cas où la droite et tangentent au cercle donc elle n'a qu'une seule intersection avec le cercle ça correspond donc au cas où le discriminant est égal à zéro alors c'est ça qui va nous intéresser et qui va nous épargner un petit peu des calculs très compliqué alors je vais le faire ici en fait on veut que le discriminant de ce polynôme soit égal à zéro alors je vais l'écrire alors le b ici c'est lui ici c'est le a et ça c'est le sait pour faire la comparaison avec la forme générale d' un polynôme 2° 2 donc je vais écrire maintenant le discriminant et bien c b o car est donc 2ème paix - 8 au carré - quatre fois à c'est donc assez un plus m carrez x p au carré qui était gallas et voilà donc je vais développer ça alors ici je développe cette partie là ça va me donner 4 m ² pkr est plus moins le double produit x 2 donc 32 zem p + 8 x 8 64 - 4 p o car est moins quatre pays au carré m au carré alors j'ai quand même des choses que je peux simplifiée gesa 4 m² paix au carré - 4 p au carré m² donc ça ça s'annule et puis donc ici j'ai moins 4 p o car est moins 32 m p + 64 et ça ça doit être égale à zéro donc je l'obtiens finalement une équation qui lie la pente m et lors donné à l'origine paix de la droite tangente alors je peux l'écrire un petit peu mieux je vais la simplifier je peux tout divisé par quatre ça va me donner - paix au carré - 8 mp +64 / 4 ça fait 16 et tout ça c'est égal à zéro voilà alors ça c'est une équation qu'on peut résoudre enfin pour exprimer paie en fonction de m ou même en fonction de p et si on fait la même chose avec l'hyperbole eh bien on aura une autre équation qui va relier pm donc on aura un système de deux équation à deux inconnues avec lequel on pourrait on devrait pouvoir en tout cas en théorie déterminer les valeurs de paix et 2ème donc l'équation de notre tangente donc on va s'arrêter là pour cette vidéo et on reprendra en faisant exactement la même chose à l'hyperbole pour obtenir une deuxième équations et ensuite on devra résoudre ce site et ensuite on devra résoudre le système d'équations pour trouver m&p