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Tangente commune à un cercle et à une hyperbole (3 sur 5)

Transcription de la vidéo

alors je reprends le travail là où on l'a laissé sur ce problème donc je te rappelle qu'on avait déterminé en fait les points d'intersection de la tangente d'équations y égale mx plus paix avec le cercle et donc quand je dis les points c'est en fait le seul point en a qu'un et on était arrivé à cette relation là qui lie lors donné à l'origine et la pente de la droite de la tangente donc un polynôme de degré de ici et on va faire exactement maintenant la même chose avec l'hyperbole alors on peut faire la même remarque que ce qu'on a fait pour le cercle en fait si je prend une tangente à en ce point ci donc cette tangente là par exemple ou n'importe quelle tangente à l'hyperbole en un point donné et bien cette tangente là elle ne peut pas recoupé ailleurs l'hyperbole puisqu'on voit ici par exemple cette tangente la l1 coefficient directeur supérieur au coefficient directeur de la symptômes or l'autre branche de l'hyperbole est forcément sousse est un symptôme donc finalement comme dans le cas du cercle une tangente à l'hyperbole n'a qu'un seul point d'intersection avec l'hyperbole c'est juste ce point de contact donc on garde ça en tête et puis on va faire la même chose que ce qu'on a fait avec le cercle c'est à dire que je vais ici j'ai cette équation la xe au carré sur neuf mois y aux carrés sur quatre égal 1 je vais remplacer y au carré par cette expression là que j'ai calculé déjà donc c'est ce que je vais faire je vais l'écrire ici donc l'équation cx au carré sur neuf moins y aux carrés sur quatre alors y aux carrés sur quatre donc y au carré c'est tout cette expression la m ² x x car et + 2 m p x x + paix au carré et donc ça c'est égal à 1 voilà alors maintenant j'ai réglé je vais descendre et en fait ce que je vais faire c'est déjà multipliés tout par 36 pour ne plus avoir de fractions donc ici j'aurais 4x au carré - ici je vais donc avoir neuf fois m carey x au carré + 2 mpx plus paix au carré et ça ça doit être égal à 1 x 36 donc à 36 ensuite je vais développer tout ça donc je vais avoir 4 x au carré - 9 m² x x au carré -10 8 mpx - 9 p o car est égal 36 alors là j'ai obtenu mon polynôme 2° 2 je vais juste le mettre sous une bonne forme donc ici en les termes en x au carré je vais les factoriser c'est donc 4 - 9ème au carré x x au carré et puis là j'ai plus rien à faire -10 8 mpx et puis là le terme constant du coup c'est moins 9 p o car est moins 36 égal 0 voilà donc finalement je suis comme dans le cas du cercle ramené à l'étude de ce polynôme 2° 2 est exactement comme le cas du cercle ce polynôme n'aura qu'une seule solution s'ils sont discriminants est égal à 0 1 si le discriminant ce polynôme nuls il n'y a qu'une solution de ce polynôme qui va compter double si on veut mais en tout cas c'est la seule et donc c'est tout à fait ce qui doit se passer pour nous puisqu'on sait que notre hyperbole elle n'a qu'une seule intersection avec sa tangente donc ici le discriminant ce polynôme est forcément égal à zéro c'est ça qui va nous donner notre deuxième équation alors je vais calculer ce discriminant ça c'est le chaos le le coefficient a ici c'est le coefficient b et puis le coefficient constant le co efficience et c'est celui-là donc delta c'est bo carré - 4 ha c'est donc c'est moins 18 m p au carré - quatre fois à 4 - 9ème au carré fois c'est alors j'ai un moins que je peux factoriser donc ici je vais avoir un plus et ici je vais m en facteur 9p au carré - plus par dont 36 et je sais que tout ça c'est égal à zéro puisque c'est ce qui m'assure que j'ai une seule rassis alors maintenant on va se débrouiller pour simplifier un petit peu ici ce terme là je peux mettre neuf ans facteur donc ici je peux mettre 9 x 4 ans facteur dans toute cette ce terme là et puis ici alors 18 au carré 18 au carré ses 9 x 2 au carré donc c'est 81 x 4 ou bien si on préfère 9 x 36 9 x 36 donc ce terme là je vais pouvoir le / 36 et celui là aussi donc en fait je vais tout / 36 donc ce terme-là en fait il va me rester du coup 9 m ² paix au carré et puis ici il va me rester plus 4 - 9 m² facteurs de ce terme là divisé par neuf donc paix au carré +4 à 0 c'est un petit peu plus simple comme ça te laisse reprendre les calculs si j'ai été un petit peu vite donc maintenant je vais développer cette partie là alors je remonte un petit peu donc je réécris sa 9 m² pcar et +4 paix au carré 4p au carré + 4 x 4 donc plus 16 - 9 m² x p o car est donc moins 9 m² paix au carré et puis moins 36 - 36 m au carré et ça c'est égal à zéro alors là il ya des simplifications à faire ce terme là et ce terme là ça nul donc ce qui reste c'est 4 p o car est plus 16 - 36 m au carré égal 0 bon là je peux encore tout divisé par 4 ça va me donner paix au carré + 4 - 9 m ² égal 0 voilà elle a donc je tiens une deuxième équation qui lie la l'ordonnait à l'origine et la pente de ma tangente alors je vais reprendre la première qu'on avait déterminé qui est celle là ici que la copier coller voilà donc ce sont les deux équations qu'on a trouvé qu'il relie l'ordonné à l'origine et la pente de ma tangente est ce qu'on va faire dans la prochaine vidéo c'est résoudre ce système d'équations de couillonnade système de deux équation à deux inconnues et on devrait pouvoir se débrouiller pour trouver la valeur de paix et la valeur de m donc ça c'est le programme pour la prochaine vidéo