Équation de la tangente à une hyperbole

bonjour dans cette vidéo on va s'intéresser aux tangente des hyperboles donc je vais prendre une hyperbole bon je prends cette forme là d'hyperboles x o car est sûre à au carré - y au carré sur b o car est égal à 1 donc ça c'est une forme classique d'hyperboles et on sait que c'est une hyperbole qui est ouverte dans le sens de l'axé des abscisses donc si tu veux je vais faire un dessin rapidement voilà pour se rappeler un petit peu de quoi on parle donc ici j'ai mes deux axes l'axé des abscisses et lax désordonnée l'origine du repaire cette hyperbole là elle a deux à son pote qui sont les droites d'équations y égale plus ou moins b / a à x x donc je vais les tracés on va aller faire comme ça en voilà une et la deuxième et donc symétrique par rapport à l'axé des abscisses voilà donc ça ce sont mes deux à 70 j'ai deux points particuliers qui sont les sommets de la parabole et ce sont les points de coordonner à 0 alors je vais le mettre ici voilà ce point là ça à settat puis moins à 0 qui ici ça c'est moins a donc ma parabole elle et je peux la trace et elle fait comme cela voilà une hier branche puis une deuxième branche qui est comme ça voilà qui passe par le sommet et qui rejoint sont un symptôme voilà c'est à peu près ça alors maintenant on va prendre un point de cette hyperbole donc par exemple ici ce point là et on va tracer sa tangente donc là c'est juste pour voir un peu ce qui se passe je vais tracé la tangente à ce point enfin al à l'hyperbole qui passent en ce point là alors cette tangente et bien c'est une droite donc voilà une équation réduite du type y égale m x x + b donc mc la pente et pc leur donnait à l'origine donc c'est pourrait la prolonger p il est ici alors dans cette vidéo on va déterminer une relation assez intéressante entre la pente de la tangente sont ordonnés à l'origine et puis les paramètres a et b de l'hyperbole tu vas voir que ça va être une relation finalement assez simple on va revenir dessus mais la première chose c'est quand même de remarquer ce qui se passe ici en fait quand notre tangente que j'ai tracée ici eh bien on peut remarquer qu'en fait elle ne peut pas recoupé si elle elle touche ici l'hyperbole en ce point là elle ne peut pas recoupé l'autre branche de notre hyperbole tout simplement parce que ici vont si on peut se limiter aux cas de ce cadran là quand y est plus grand que 0 et x plus grand que zéro donc dans ce cadre en là et bien la pente de ma tangente elle est supérieure à la pente de la symptômes quoi qu'il arrive la pente m est supérieure à la pente de la symptômes qui est b / a on m'a dit tout à l'heure ce qui veut dire que pour tous les x plus petit que cette valeur là ici et bien la tangente est situé sous la soupe tout y est galbées sur rade et comme l'autre branche ici est situé au dessus de 7 à 70 et bien finalement la tangente ne peut absolument pas recoupé l'autre branche voilà donc ce raisonnement là tu peux le faire pour les autres cadres ans aussi et ça ça veut dire que finalement la tangente en un point à notre hyperbole n'a qu'un seul point d'intersection avec l'hyperbole c'est juste ce point là alors ça c'est quelque chose qui va nous servir donc maintenant je vais essayer de déterminer une relation entre mp a et b et pour faire ça bien je vais commencer par transformer l'équation de mon hyperbole et je vais écrire que y aux caresses urbain au carré est égal à x au carré sur ao carré - 1 là j'ai rien fait de particulier j'ai juste ajouté y au carré sur bo carré aux deux membres et sousse très sains ensuite là je vais tout x b o car est donc je vais obtenir que y au carré est égal à b au carré sur à au carré x x au carré - b au carré voilà ça c'est une autre forme de cette équation de mon hyperbole et maintenant je vais prendre mon équation de droite qui est donc y égale mx plus paix et je vais tout élevée au carré aussi donc là je vais avoir que y au carré par ailleurs cm x plus p o car est donc m o car est x au carré + 2 mpx plus p o car est donc là j'ai exprimé y au carré de deux manières différentes maintenant je vais pouvoir dire que ces deux entités doivent être égales alors j'ai donc b au carré surat au carré x x au carré - b au carré qui doit du coup être égal à m² m² x car et + 2 + 2 mpx plus paix au carré je vais tout x à au carré pour ne plus avoir dénominateur donc je vais avoir bu au carré x au carré - za de ao car fb au carré égal à au carré fois m au carré x x au carré +2 à au carré mpx plus à au carré fois paix au carré alors je vais monter un peu parce que je vais plus avoir de place maintenant je vais tout mettre de ce côté là alors je vais même réunir les termes en x au carré déterrement dixsaut carré gée celui-là à au carré m au carré - celui ci donc - b au carré x x au carré c'est ce terme là - ce terme là ensuite plus les termes en x j'ai uniquement celui qui est ici deux à vos carrés mpx plus les termes constants donc ga au carré p o car est plus à oka rêver aux quarts et donc je vais l'écrire comme ça c'est à au carré facteur de paix au carré plus b au carré et ça ça doit être égale à zéro ce qui veut dire que ce polynôme là il doit avoir une racine double autrement dit alors tu sais que si tu as un polynôme comme celui ci je vais l'écrire à côté le polynôme à x x o car est plus b x x plus c'est celui là il a une racine double si et seulement si le discriminant paix nulle puisque tu sais que les racines de ce polynôme cx égales - b plus ou moins racine du discriminant divisé par deux a donc ici on a une racine double si et seulement si le discriminant delta et galbées au carré -4 à c est égal à zéro donc c'est ce qui se passe pour nous ici ça c'est une remarque surtout les polynôme 2° 2 nous on sait que notre tangente n'a pas d'autres points d'intersection avec l'hyperbole donc ce polynôme là a une racine double qui correspond à ce point-ci qui comptait deux fois et donc ça veut dire que le discriminant de ce polynôme là et nulle alors le discriminant ici on va écrire un peu mieux ça c'est notre a ici ici ça c'est notre b et ici c'est notre c'est donc je vais écrire maintenant le discriminant de ce polynôme le discriminant c fermez là au carré c'est à dire 4 à puissance 4 fois m au carré fois paix au carré - quatre fois ac qui est donc ac ce terme-là à au carré soit m au carré - b au carré x à au carré x p o car est plus b au carré et on sait que ce discriminant il doit être nul puisque on a une racine double donc voilà j'obtiens finalement une équation alors je vais pouvoir diviser par 4 déjà et je vais même divisée par quatre fois à au carré puisque ga au carré ici à au carré là donc je n'obtiens que à au carré fois m au carré x p o car est moins ah au carré x ème au carré - b au carré x p o car est plus bo carré égal 0 alors je vais développer ce terme là parce que je pense qu'il va y avoir des simplifications alors je remonte ici donc j'ai ce terme-là qui ne bouge pas à au carré m au carré paix au carré - ici ga au carré m au carré paix au carré quand je développe donc moins à au carré m au carré paix au carré ensuite j'ai à au carré m au carré fois bo carré donc moins à au carré m au carré x b au carré ensuite j'ai moins bo carey x p o car est donc plus bo carré fois paix au carré et puis enfin - b au carré x b o car est donc moins bo puissance 4 avec un moins de vent ça me donne plus b puissance 4 et ça c'est égal à zéro et donc maintenant je peux simplifiée pas mal de choses ici ce terme là et ce terme-là s'annulent là je vais pouvoir / b o car est partout puisque ici j'ai paix au carré bo carré et donc là ça va me donner p o car est ici et j'obtiens une relation qui est assez intéressante par sa simplicité j'obtiens que - za au carré fois m au carré plus p o car est plus bo carré est égal à zéro alors on peut l'écrire un petit peu mieux si tu préfères on peut écrire que à au carré fois m au carré est égal ap au carré plus b au carré voilà donc ça c'est la relation que j'avais annoncé qui lie le coefficient directeur de la tangente l'ordonnait l'origine de la tangente et les valeurs a et b caractéristiques de notre hyperbole de départ et finalement on a réussi à établir cette relation là à partir de tout simplement un petit peu d'algèbre à bientôt