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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 11 

Leçon 25: La formule de changement de base
Mathématiques
Algèbre
Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes
La formule de changement de base
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La formule du changement de base

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On cherche la valeur de log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis. Or 50 n'est pas une puissance de 2, donc c'est difficile à calculer sans l'aide de la calculatrice.
Mais les calculatrices donnent les logarithmes décimaux (base 10) et les logarithmes népériens (base e). Donc pour calculer log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, il faut commencer par changer de base.

Formule de changement de base

On peut changer la base de tout logarithme grâce à cette formule :
Remarques :
  • La formule est valable quelle que soit la base start color #0d923f, x, end color #0d923f.
  • Les arguments sont positifs et les bases sont positives et différentes de 1.

Exemple : Calculer log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis

Pour pouvoir calculer un logarithme à la calculatrice, il faut changer de base en utilisant soit la base 10 ou la base e.
On change donc de base pour exprimer log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis en base start color #1fab54, 10, end color #1fab54.
On applique la formule de changement de base avec b, equals, 2, a, equals, 50 et x, equals, 10.
log⁡2(50)=log⁡10(50)log⁡10(2)=log⁡(50)log⁡(2)car log⁡10(x)=log⁡(x)\begin{aligned}\log_\blueD{2}(\purpleC{50})&=\dfrac{\log_{\greenD{10}}(\purpleC{50})}{\log_{\greenD{10}}(\blueD2)} &&{\gray{\text{}}} \\\\ &=\dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{car } \log_{10}(x)=\log(x)}} \end{aligned}
Et on fait travailler la calculatrice :
start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction, approximately equals, 5, comma, 644

À vous !

Exercice 1
Calculer log, start base, 3, end base, left parenthesis, 20, right parenthesis.
Arrondir au millième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 2
Calculer log, start base, 7, end base, left parenthesis, 400, right parenthesis.
Arrondir au millième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 3
Calculer log, start base, 4, end base, left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis.
Arrondir au millième.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

D'où vient cette formule de changement de base ?

Là, vous vous dites sûrement, "C'est génial ! Mais comment ça marche ?"
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, b, right parenthesis, end fraction
On commence par un exemple. En utilisant la formule ci-dessus, on obtient que log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
%\log_2(50)On pose log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, n. Par définition du logarithme de base 2, on en déduit que 2, start superscript, n, end superscript, equals, 50. Puis :
2n=50log⁡(2n)=log⁡(50)si A=B, alorslog⁡(A)=log⁡(B)nlog⁡(2)=log⁡(50)n=log⁡(50)log⁡(2)on a diviseˊ les deux membres parlog⁡(2)\begin{aligned} 2^n &= 50 \\\\ \log(2^n) &= \log(50)&&{\gray{\text{si }A=B\text{, alors}\log(A)=\log(B)}} \\\\ n\log(2)&=\log(50)&&{\gray{\text{}}} \\\\ n &= \dfrac{\log(50)}{\log(2)} &&{\gray{\text{on a divisé les deux membres par} \log(2)}} \end{aligned}
n, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, donc log, start base, 2, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, equals, start fraction, log, start base, x, end base, left parenthesis, 50, right parenthesis, divided by, log, start base, x, end base, left parenthesis, 2, right parenthesis, end fraction.
On démontre la formule de changement de base de la même façon. Il suffit de remplacer 2 par b et 50 par a et... c'est démontré !

D'autres exercices

Défi 1
Calculer start fraction, log, left parenthesis, 81, right parenthesis, divided by, log, left parenthesis, 3, right parenthesis, end fraction sans calculatrice.
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Défi 2
log, left parenthesis, 6, right parenthesis, times, log, start base, 6, end base, left parenthesis, a, right parenthesis est égal à :
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