Modéliser avec une fonction affine ou une fonction de la forme x ↦ab^x

à partir de 1950 on m'a relevé à intervalles réguliers le nombre de branches d'un chêne est celui d'un boulot alors ici on a les données concernant le chêne on nous dit que à la date 0 donc en 1950 et bien le chêne avait trente quatre branches trois ans plus tard il en avait 46 et puis six ans plus tard 59 et ainsi de suite donc on a relevé le nombre de branches à intervalles réguliers intervalles réguliers et ici l'intervalle c'est de trois ans pour le boulot on a des données tout à fait semblable on nous dit que allah au début en 1950 l'arbre avait huit branches dix ans plus tard il en avait 33 20 ans plus tard il en avait 100 28 et ainsi de suite donc là encore on a relevé intervalles réguliers qui est un intervalle de dix ans le nombre de branches de du boulot alors ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est essayer de trouver une fonction qui va modéliser ce nombre de branches dans le cas du chêne et dans le cas du boulot alors on pourrait bien sûr avoir des tas de types de fonctions différentes qui modélise c'est ce nombre de branches mais là ce qu'on va faire c'est se demander s'il faut plutôt modéliser sa part une fonction à fines ou par une fonction exponentielle autrement dit on va se demander si le meilleur modèle le modèle qui va le mieux représenté ce nombre de branches c'est un modèle linéaire un modèle linéaire ou un modèle exponentielle voilà et la chose la plus importante à bien comprendre c'est que quand on a des relevés qui sont faits à intervalles réguliers donc quand la variable en fait augmente de manière fixe de manière constante et bien ce qui va être intéressant c'est d'aller regarder comment varie le nombre de branches pendant cet intervalle fixe plus précisément ici on a un intervalle de à chaque fois de trois en trois ans ici on passe de 3 ans à 6 ans là on passe de 6 ans à 9 ans et la de 9 ans à 12 ans donc à chaque fois la variable est augmenté de 3 est ce qu'on va regarder maintenant c'est l'augmentation pendant cette durée fixe de 3 ans si le nombre de branches augmente de manière constante au cours de ces durée de trois ans eh bien on pourra modéliser sa part un modèle linéaire alors que si l'augmentation dépend de l'endroit où on se place bien ce sera plutôt un modèle exponentielle on va expliquer ça un petit peu plus précisément ici entre la date égal zéro et la date légale 3 donc pendant la première période de trois ans j'ai une offre je suis passé de 34 branche à 46 branche qui veut dire que j'ai douze branches 12 nouvelles branches l'augmentation du nombre de branches ses 12 quand je regarde ce qui se passe entre dans la deuxième tranche de 3 ans je suis passé de 46 branche à 59 branche donc là j'ai treize nouvelles branches 59 - 46 pendant la tranche suivante de trois ans donc entre la date égal si c'était légal 9 je suis passé de 59 à 70 branches qui veut dire que j'ai eu onze nouvelles branches date est égale 1 9 et l'adapter galles 12 donc la dernière tranche de 3 ans ici et bien j'ai douze nouvelles branches en plus puisque je suis passé de 70 à 80 de branche alors tu vois que là mathématiquement si on est vraiment dans quelque chose de mathématiques on peut pas dire que l'augmentation au cours de ces durée de trois ans et constante puisque la jeu douze branches la presse branche la 11 l'a12 donc c'est pas strictement constants mais il faut bien comprendre que quand on modélise quelque chose on va pas chercher une fonction qui va représenter exactement le phénomène puisque en général dans un phénomène physique il y a une part d'aléatoire par contre si on regarde ces données là on peut se dire oui il ya à peu près douze nouvelles branches tous les trois ans donc c'est effectivement c'est ce qui se passe là j'ai exactement douze branches là j'en ai 13 donc c'est pas très loin de 12 la journée 11 donc c'est pas très loin 12 non plus et là j'en ai 12 exactement donc on peut représenter ça assez bien par une fonction qui va dans laquelle l'augmentation va être de 12 branches au cours d'une période de trois ans une augmentation constante donc ce qui veut dire qu'on va avoir affaire à une fonction affine donc ce que je vais faire c'est modéliser sa part une fonction affine et cette fonction affine moi je vais l'appeler b1 ça va être b le nombre de branches et b2t donc c'est le nombre de branches une année donnée à une certaine année alors il faut faire attention parce que là les données nous disent que on a douze nouvelles branches tous les trois ans est pas douze branches chaque année donc ça ça va être important alors mon nombre de branches je pars du début j'en ai 34 au début plus douze branches tous les trois ans c'est à dire quatre branches par an donc quatre branches quatre fois tu es effectivement si j'ai quatre branches parents et bien j'en aurai 12 tous les trois ans voilà donc ça c'est une fonction affine et qui va modéliser assez bien l'évolution du nombre de branches de mon chêne alors bien sûr tu peux tester si ton modèle représente assez bien la réalité pour tes galles 0 et bien b20 ce sera exactement 34 donc là on est bon pour tes égale 12 par exemple pour tester les valeurs extrêmes de mes mesures bien pour je vais avoir b2 12b de 12 ça va être égal à 30 4 + 4 x 12 4 x 12 ça fait 48 34 +48 ça fait 82 exactement donc tu vois que le modèle représente quand même vraiment pas mal cette réalité là je te laisse faire les calculs intermédiaire tu trouveras pas toujours exactement le résultat des mesures indiquées dans le tableau mais tout se retrouvera toujours quelque chose de relativement proche des mesures est réel alors maintenant on va passer au cas du boulot première chose à remarquer c'est que là aussi on a des intervalles réguliers on à des intervalles de dix ans ici c'est 2-0 à dix on a dix ans dix 10 années ici aussi entre 10 et 20 ans là il ya dix années encore et là il ya encore dix avaient donc on va faire la même chose on va regarder l'évolution du nombre de branches au cours d'une période de dix ans alors pendant la première période de dix ans je suis passé de huit branches à 33 branche c'est à dire que j'en ai 25 nouvelles prendre 3 - 8 pendant la deuxième période de dix ans j'ai trente trois branches au début et 128 à la fin donc je suis passé de 33 à 128 ce qui veut dire que j'ai ajouté 95,33 +95 ça fait 128 alors ben là je crois que c'est pas la peine d'aller plus loin puisque là l'écart entre cette évolution est bien trop grand pour penser qu'on va pouvoir modéliser sa part une fonction a filmé pendant la première période de dix ans on a 25 branche en plus alors que pendant la deuxième on a 95 c'est complètement différent donc c'est certainement pas un modèle linéaire donc ce qu'on va faire c'est essayer de modéliser sa part une fonction exponentielle je vais enlever ces données là je vais enlever tout ça alors dans le cas d'une fonction exponentielle ce qu'on va regarder ces six le nombre de branches pendant une période de 10 ans et toujours x le même nombre dans le cas d'un modèle linéaire on a un nombre de branches qui augmente de manière constante pendant des périodes de temps est identique dans le cas d'un modèle exponentielle le nombre de branches pas être multipliée toujours par le même nombre pendant une période de temps identique donc là je suis passé de huit branches à trente trois branches ça veut dire que le nombre de branches a été à peu près x 4 s'est pas exactement x 4 puisque 8 x 4 ça fait 32 et pas 33 mais bon on peut se dire que ce nombre de branches a été à peu près x 4 pendant la deuxième période de 10 ans qui est ici entre d'at&t galles 17 et galvin je suis passé de 33 branche à 128 alors 33 x 4 ça fait cent trente deux donc effectivement c'est pas très loin de 128 donc on peut se dire que là aussi pendant cette période de 10 ans on a à peu près multiplier par quatre le nombre de branches ici dans cette troisième période de dix ans on est passé de 128 à 512 128 x 4 ça fait exactement 512 donc ici le nombre de branches a été multiplié par 4 dans la dernière tranche de dix ans j'avais 512 branche au début donc si je multiplie par 4 512 x 4 ça fait 2048 donc effectivement c'est très très proche de 2049 donc je vais dire que ici dans cette période de dix ans le nombre de branches a été à peu près x 4 aussi donc tu vois qu'ici on peut à peu près modéliser la situation par un modèle exponentielle de base 4 puisque à chaque fois le nombre de branches est multiplié par quatre alors je vais écrire mon nombre de branches la fonction qui modélise le nombre de branches alors b2t ça va être là le nombre de branches initial donc j'en ai huit au début de l'étude x la base de l'expo n'en ciel qui est 4 élevé à une certaine puissance alors il faut faire attention parce que la puissance ici elle est déterminée par les mesures qui sont donnés dans le tableau ici le nombre de branches aimé x 4 tous les dix ans ce qui veut dire que en fait l'exposant ça va être tes sur 10 puisqu'il faut que la variable athènes dix ans pour que l'exposant augmente de une unité voilà donc ça c'est l'évolution la fonction exponentielle qui modélise l'évolution du nombre de branches de ce boulot donc cette fonction-là représente assez bien le phénomène qui nous est donnée ici que tu peux vérifier effectivement en calculant b2t pour un certain nombre de données ici par exemple tu peux calculer b2 30b de 30 c 8 x 4 élevé à la puissance 30 sur dix c'est à dire 3 prendre sur dix ça fait 3 alors quatre puissances 3 ça fait 16 x 4 ça fait 64 donc on va avoir ici 8 x 64 8 x 64 ça fait 8 x 6 ça fait 48 dont 480 plus 8 x 4 32 donc en fait ça fait 5 112 est là dans ce cas là on trouve exactement le nombre de branches qui est donné dans le tableau tu si tu calcules pour d'autres valeurs tu vas pas forcément trouvé exactement le bon nombre de branches mais tu trouveras dans tous les cas quelque chose de très proche donc notre fonction est un assez bon modèle