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Le nombre ūĚĎí comme limite d'une suite

Le nombre ūĚĎí est la limite d'une suite. Cr√©√© par Sal Khan.

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Transcription de la vidéo

dans la vid√©o pr√©c√©dente on m'avait √©tudier un cas tr√®s simple d'int√©r√™ts compos√©s qui nous avait conduits √† cette expression l√† un plus 1 suresnes √©lev√© √† la puissance n en fait on avait observ√© le cas d'un pr√™t bancaire avec un certain taux d'int√©r√™t rembours√©s sur une un certain nombre de p√©riodes alors ici je vais mettre ce n qui est le nombre de p√©riodes qu'on retrouve ici en explosant voil√† alors dans la vid√©o pr√©c√©dente on a fait plusieurs essais avec diff√©rentes valeurs de haine toujours plus grande jusqu'√† n √©gale 365 qui correspondait un pr√™t bancaire de taux d'int√©r√™t journalier de 100% sur 365 remboursables en 365 jours donc en une ann√©e voil√† alors ce qu'on avait dit dans la derni√®re vid√©o aussi c'est que on m'avait donc fait ces essais et que ces essais paraissait converger vers un nombre et je t'avais dit que ce nombre c'√©tait un nombre tr√®s connu en math√©matiques et en sciences qu'on appelle le nombreux et donc ce que je voudrais faire dans cette vid√©o c'est d√©j√† essay√© de voir un petit peu vers quoi nous m√®ne cette expression l√† quand on la calcule pour des valeurs de haine de plus en plus grande alors je prends la calculatrice donc je vais calculer cette expression donc je voulais parenth√®se et je vais prendre une valeur de haine tr√®s grande donc on va calculer un plus 1 / disons un million je prends un √©gal 1 millions dont class√© dix mille cent mille 1 million je ferme la parenth√®se et j'√©l√®ve toute cette parenth√®se √† la puissance 1 million 10 a fait la g 100 milles et donc puis 105 millions voil√† alors √©videmment ici je vais appuyer sur la touche entr√©e ne t'inqui√®te pas c'est un moment de suspense mais d'abord je voudrais qu'on se penche un petit peu sur cette expression qui est l√† parce qu'on a un nombre dans la parenth√®se qui est plus grand qu'un qu'on √©l√®ve √† une puissance donc si cette puissance est tr√®s grande l√† comme le cas que j'ai pris ici puissance un million on peut imaginer que √ßa va donner un nombre gigantesque mais ce qui est int√©ressant c'est de regarder un petit peu mieux ce qu'on a dans la parenth√®se puisque ici on a un plus un suresnes donc un plus un sur un million dans le cas que qu'on va calculer tout √† l'heure donc c'est quelque chose qui est plus grand que 1 mais plus n est grand plus qu'il ya dans la parenth√®se est proche de 1 donc √ßa sera jamais exactement 1 mais en fait on se rapproche de plus en plus de cinq ans et grandi ici et donc voil√† ces deux tendances la selon ce qu'ont pens√© d'une certaine mani√®re on peut dire √ßa comme √ßa et pour comprendre un peu mieux on peut aussi se dire que quand on a un √©lev√© √† la puissance 1 million bien √ßa fait 1 million donc ici on a un tout petit peu plus que 1 √©lev√© √† la puissance 1 million donc √ßa devrait √™tre pas tr√®s loin de 1 non plus donc c'est ce que je disais tout √† l'heure c'est tendance ce qu'on pense et on va le voir tout de suite l√† maintenant je vais appuyer sur cette touche en pr√©voit la tacc et j'obtiens cette valeur 2,718 280 469 effectivement ici les d√©cimales se continue normalement et donc √ßa confirme ce que je disais on n'a pas du tout quelque chose de tr√®s tr√®s grands 2,72 √† peu pr√®s donc c'est pas tr√®s grand c'est m√™me assez petit par rapport √† ce qu'on pouvait imaginer et on va confirmer ce fait l√† en faisant un autre exemple alors ici je vais faire le m√™me calcul mais avec un une valeur de haine encore plus grande alors un plus 1 / l√† je vais prendre 10 millions et je vais utiliser les puissances de 10 la notation scientifique donc c'est 10 puissance cette voie l√† 10 puissance 7 je ferme la parenth√®se et je vais √©lever sa √† la puissance 10 puissance est donc 10 puissance 7 et je ferme la parenth√®se donc l√† j'ai un plus un sur dix millions et levait la puissance 10 millions alors on va voir je ne sais pas si la calculatrice peut calculer √ßa mais oui tr√®s bien √ßa nous donne 2,7 1,8 de 8 1 693 donc tu vois que l√† les cinq premi√®res d√©cimales sont les m√™mes et on a une diff√©rence √† partir du du co√Ľt de la 6√®me d√©cimales alors je vais continuer avec une valeur de haine encore plus grande je vais prendre 100 millions donc un plus 1 / alors 100 millions ses 10 puissance 8/10 puissent ensuite je ferme la parenth√®se et je ferme la grande parenth√®se √©lev√© √† la puissance 10 puis sans suite et on va voir √ßa me donne 2 718 288 115 ici encore le d√©veloppement d√©cimales et le m√™me jusqu'√† la position 5 c'est √† partir de ce chiffre l√† que la valeur change alors ce qui se passait quand fait plus on prend des valeurs de haine grande plus on s'approche petit √† petit de la valeur du nombreux alors cette valeur l√† je peux la calculer ici et 22 donner une valeur approch√© que laquelle la calculatrice va calculer c'est eux √©lev√©s √† la puissance 1 et c'est donc voil√† on retrouve pratiquement la m√™me que celle qu'on a calcul√© tout √† l'heure et donc finalement ce qui se passe c'est que cette suite la 1 + 1 sur rennes √©lev√© √† la puissance n et bien en fait elle n'est pas divergentes elle ne va pas √ßa limite n'est pas l'infini et on peut l'√©crire comme √ßa la limite quand elle tend vers plus l'infini de cette suite et bien c'est un nombre un nombre qu'on appelle eux donc c'est ce nombre dont je t'avais d√©j√† parl√© et dont la valeur est √† peu pr√®s deux virgules je vais reprendre ce qui est √©crit ici 2.718 de 8 1 8 donc c'est environ 2,7 1,8 de 8 1 8 et ainsi de suite et en fait ce qui est int√©ressant c'est que le d√©veloppement d√©cimale de ce nombre-l√† ne se termine jamais c'est exactement comme le nombre pi que tu connais qui est le rapport entre la circonf√©rence et le diam√®tre d'un cercle ce sont des nombres qu'on appelle des nombres transcendant dont le d√©veloppement de d√©cimales est infini et ne se r√©p√®te jamais voil√† donc ce nombreux comme le nombre pi comme l'unit√© imaginaire des complexes le nombreux y ce sont des nombres qui ont une importance vraiment fondamental dans la nature et qu'on retrouve dans pleins pleins de domaines donc √ßa tu verras d'autres vid√©os sur la khan academy l√† dessus et en particulier ce qui est assez surprenant est assez fascinant c'est que ces trois nombres la e i √©pis sont li√©s par une relation tr√®s tr√®s simple que tu apprendras par la suite