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Exercices concrets mettant en jeu une fonction de la forme x↦ba^x ou de la forme t↦ba^t

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo on va se poser un problème assez classique qui fait intervenir une fonction exponentielle on va imaginer que tu places 3800 euros 3800 euros sur un compte épargne et que le taux d'intérêt fixé par la banque est de 1 8% par an autrement dit ça veut dire que la somme que tu a placé sur ton compte va augmenter de 1,8 pour cent chaque année et on nous demande d'écrire une expression qui permet de déterminer le montant dont il disposera dans 15 ans donc 15 ans ici c'est la durée du placement on a le placement initial qui est 3800 euros le taux d'intérêt qui est un 8 % par an et la durée du placement qui est donc de 15 ans alors ce qu'on va faire c'est comme le banquier on va procéder à mai par année donc l'année zéro à l'année zéro c'est donc l'année où tu places ton capital en banque ce qui assure ton compte est bien ses 3800 euros 3800 euros donc ça c'est ce qu'on appelle c'est le capital initial capital initial c'est ce que tu places toit épargne ensuite un an plus tard donc l'année 1 pour l'année 1 ce qui va se passer c'est que ce capital aura augmenté de 1 8% c'est à dire que la somme dont tu va disposer sur ton compte c'est 3800 euros 3800 euros donc ton capital initial plus les intérêts qu'ils sont de 1 8% dont +1 8% de ce capital l'a donc de 3800 alors ici c'est donc 1 8% fois 3800 alors ici quand même on peut se rappeler que quand on dit 1,8 pour cent vingt huit pour cent en fait c'est un 8 / 100 8 / 100 et donc c'est 0,018 donc je vais réécrire la somme dont je dispose au bout de un an en remplaçant 1,8 pour cent par ça donc au bout de 1 angers 3800 euros + 0,018 fois 3800 ça c'est une autre manière d'écrire la même chose mais maintenant il si tu peux remarque peut-être qu'on peut faire une opération mathématique classique que tu connais puisqu'on a un facteur commun ici on à 3800 et 3800 ici donc je peux le mettre en facteurs alors c'est ce que je vais faire donc je vais avoir finalement 3800 x 1 plus 0,018 voilà donc ça c'est juste une mise en facteurs je peux même leur écrire un petit peu mieux finalement au bout d'un an sur mon compte j'ai 3800 euros x 1,018 puisqu'un plus 0,018 ça fait 1,018 alors ça c'est un fait intéressant parce que finalement ce qu'on voit c'est que au bout d'un an la somme que j'ai placé a été multiplié par 1,018 ça c'est ce qu'on appelle le coefficient multiplicateur donc quand je place une somme un taux d'intérêt de 1 8% et bien au bout d'un an cette somme a été multiplié par 1,018 alors on n'a pas terminé mais justement je trouve que c'est assez intéressant là tu que tu essayes de ton côté tu mets la vidéo sur pause et tu essayes de voir ce qui se passe pour l'année 2 par exemple alors l'année 2 au bout de la deuxième année la somme que j'ai sur mon compte c'est la somme qui avait à la fin de l'année un donc 3800 euros x 1,018 et puisqu'on vient de voir c'est que chaque année la somme et x 1,018 donc en fait ce qui assure mon compte ses 3800 fois 1,018 ce qu'il y avait à la fin de l'année 1 x 1,018 encore une fois alors ça je peux l'écrire un petit peu mieux en fait la somme dont je dispose au bout de deux ans je peux l'écrire comme ça c'est 3800 euros x 1,018 élevée au carré voilà et en fait on peut continuer comme ça et ce qui se passe c'est que au début de chaque année j'ai une somme et à la fin de l'année j'ai cette somme la plus les intérêts qui sont de 1,8 pour cent de la somme de départ donc en fait la somme que j'ai c'est la somme qui avait au début de l'année x 1,018 alors on pourrait continuer comme ça calculez l'année 3 mais je vais le faire directement pour l'année 15 puisque c'est ce qu'on nous demande au bout de quinze ans finalement la somme qu'on va avoir et bien ses 3800 euros x 1,018 élevé à la puissance 15 voilà alors là on a répondu à la question on a trouvé une expression qui permet de déterminer le montant dont il disposera dans 15 ans tu peux faire ce calcul à la calculatrice là je vais pas le faire et tu verras que au fond même avec un taux d'intérêt qui paraît vraiment faible 1,8 pour cent par an finalement en quinze ans ça rapporte quand même pas mal