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Algèbre
Cours : Algèbre > Chapitre 11
Leçon 22: Les fonctions logarithmes- Les logarithmes
- Les logarithmes
- Calculer un logarithme
- Calculs de logarithmes
- Calculer un logarithme 2
- Fonction exponentielle et fonction logarithme
- Fonction exponentielle et fonction logarithme : leurs courbes représentatives
- Fonction exponentielle et fonction logarithme : deux tableaux de valeurs
- Fonction exponentielle et fonction logarithme
Les logarithmes
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Prérequis :
Les puissances et notamment les puissances négatives.
Le sujet traité
Vous apprendrez dans cette leçon ce que sont les logarithmes et comment les calculer.
Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Les logarithmes n'existeraient pas si les "puissances" n'existaient pas !
start color #11accd, 2, end color #11accd puissance start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start text, end text est égal à start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Ce qui s'écrit : start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Si on se pose la question : "À quelle puissance faut-il élever start color #11accd, 2, end color #11accd pour obtenir start color #e07d10, 16, end color #e07d10 ?" la réponse est start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Si on utilise un logarithme, la relation qui lie 2, 4 et 16 est : log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f ce qui se lit "Le logarithme en base deux de seize est quatre".
Les deux égalités traduisent la même relation entre start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f et start color #e07d10, 16, end color #e07d10. start color #11accd, 2, end color #11accd s'appelle la base du logarithme et start color #0d923f, 4, end color #0d923f est la puissance à laquelle est élevé 2.
La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, tandis que dans la forme logarithmique, on isole l'exposant, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Voici d'autres exemples :
| Logarithmes | Puissances | |
|---|---|---|
| log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10 |
| log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54 | \Longleftrightarrow | start color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10 |
Définition du logarithme de base b
Par définition, si a, is greater than, 0 et b, is greater than, 0,
Ces deux égalités sont équivalentes, elles traduisent la même relation entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd et start color #0d923f, c, end color #0d923f :
- start color #11accd, b, end color #11accd est la start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd de la puissance et c'est aussi la base du logarithme,
- start color #0d923f, c, end color #0d923f est l' start color #0d923f, start text, e, x, p, o, s, a, n, t, end text, end color #0d923f,
- start color #e07d10, a, end color #e07d10 est la start color #e07d10, start text, p, u, i, s, s, a, n, c, e, end text, end color #e07d10 et c'est aussi l'argument du logarithme.
À ne pas oublier
Quand on passe de la forme exponentielle à la forme logarithmique ou vice-versa, la base du logarithme et la base de l'exponentielle sont les mêmes.
À vous !
Voici des exercices où il s'agit de passer d'une égalité comportant une puissance à l'égalité équivalente comportant un logarithme.
Calculer un logarithme
Et maintenant, comment calculer un logarithme ?
On veut, par exemple, calculer log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Si x désigne la valeur de ce logarithme, on cherche x tel que
Ce qui, par définition, est équivalent à :
Quelle est la puissance de 4 égale à 64, space, question mark C'est 3 car start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 et donc log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Avec un peu d'entraînement, vous réduirez ces étapes et dès que vous lirez log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, vous vous demanderez "Quelle est la puissance de 4 égale à 64, space, question mark"
À vous !
N'oubliez pas que pour trouver la valeur de log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, il suffit de se demander "quelle est la puissance de start color #11accd, b, end color #11accd égale à start color #e07d10, a, end color #e07d10, space, question mark"
Ensemble de définition
log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis est défini pour toute base b, is greater than, 0 et b, does not equal, 1 et tout argument a, is greater than, 0. Ces conditions sont la conséquence directe des propriétés des puissances.
| Condition | Justification |
|---|---|
| b, is greater than, 0 | Les fonctions exponentielles de base b ne sont définies que si b est strictement positif. |
| a, is greater than, 0 | log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c équivaut à b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Or toute puissance d'un nombre positif est positive. Donc b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0 et par conséquent a, is greater than, 0. |
| b, does not equal, 1 | Si b était égal à 1 alors, par exemple, il existerait un nombre x tel que log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x qui serait équivalent à 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Or toute puissance de 1 est égale à 1, donc un tel nombre x n'existe pas, et b, does not equal, 1. |
Logarithmes particuliers
On utilise le plus fréquemment deux bases.
La plupart des calculatrices disposent de touches spécifiques pour ces deux bases.
Le logarithme décimal
Le logarithme décimal est le logarithme de base 10. Il est noté l, o, g, start subscript, 10, end subscript ou tout simplement l, o, g.
Quand la base n'est pas précisée, c'est qu'il s'agit du logarithme de base 10.
Le logarithme népérien
Le logarithme népérien est le logarithme de base e.
Ce logarithme est noté natural log :
L'essentiel à retenir à propos de ces deux logarithmes :
| Nom | Base | Notation générale | Notation spécifique |
|---|---|---|---|
| Logarithme décimal | 10 | log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | log, left parenthesis, x, right parenthesis |
| Logarithme népérien | e | log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis | natural log, left parenthesis, x, right parenthesis |
On utilise généralement la notation spécifique.
Pourquoi étudier les logarithmes ?
Comme on vient de le voir, la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc très utile pour résoudre les équations comportant des puissances.
Par exemple, la solution de l'équation 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 est x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. On apprendra à calculer une expression comportant un logarithme dans les leçons suivantes.
Les logarithmes s'avèrent très intéressants en eux-mêmes, ils interviennent partout dans le monde qui nous entoure. Beaucoup de phénomènes physiques par exemple sont mesurés à l'aide d'échelles logarithmiques.
La suite ?
Il y en a deux. La première porte sur les propriétés des logarithmes. La deuxième porte sur la formule de changement de base qui permet de calculer n'importe quel logarithme à la calculatrice.
Vous souhaitez rejoindre la discussion ?
Il y a une erreur dans l'énoncé de l'exercice 2 :
"3^5=125"(2 votes)
Merci d'avoir signalé cette erreur ! Elle est corrigée. Le bon énoncé sera effectivement en ligne d'ici quelques jours.(1 vote)
comment utilisé une calculatrice pour calculer des logarithme ?(1 vote)- La calculatrice te permet de calculer le logarithme en base 10 de n'importe quel nombre, avec la touche "log". En fonction de la marque, tu dois d'abord taper l'argument, puis cette touche "log", ou l'inverse.
Elle te permet aussi de calculer le log en base e, c'est à dire le logarithme népérien : touche "ln".
Pour tous les autres logarithmes, tu devras d'abord faire un changement de base, vers la base 10 ou la base e. Pour cela, regarde les vidéos ou articles qui parlent de ces changements de base, notamment https://fr.khanacademy.org/math/be-6eme-secondaire4h2/x874e280f2deebfaf:analyse/x874e280f2deebfaf:les-fonctions-logarithmes/a/logarithm-change-of-base-rule-intro
N'oublie pas qu'il y a aussi les propriétés des logarithmes, qui permettent de les calculer sans avoir besoin de calculatrice, quelle que soit la base.(1 vote)
- 5431,08 = 400 [1- (1+0,02) ^-n]
/ 0,02(1 vote) - Bonjour, dans le texte ci-dessus : "La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance,16, tandis que dans la forme logarithmique, on isole l'exposant,4. "16" n'est-il pas l'argument et non la puissance ?(1 vote)
- 16 est bien l'argument du logarithme.
Mais dans la relation exponentielle, il est la puissance. (la 4ème puissance de 2)
De même, 4 est le logarithme, dans la relation avec le log.
Mais dans la relation exponentielle, il est l'exposant
Quant à 2, dans les deux cas, il est appelé la base : la base de l'exponentielle, et la base du logarithme.(1 vote)