If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Les logarithmes

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Prérequis :

Les puissances et notamment les puissances négatives.

Le sujet traité

Vous apprendrez dans cette leçon ce que sont les logarithmes et comment les calculer.

Qu'est-ce qu'un logarithme ?

Les logarithmes n'existeraient pas si les "puissances" n'existaient pas !
start color #11accd, 2, end color #11accd puissance start color #0d923f, 4, end color #0d923f, start text, end text est égal à start color #e07d10, 16, end color #e07d10. Ce qui s'écrit : start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10.
Si on se pose la question : "À quelle puissance faut-il élever start color #11accd, 2, end color #11accd pour obtenir start color #e07d10, 16, end color #e07d10 ?" la réponse est start color #0d923f, 4, end color #0d923f. Si on utilise un logarithme, la relation qui lie 2, 4 et 16 est : log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f ce qui se lit "Le logarithme en base deux de seize est quatre".
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #0d923f, 4, end color #0d923f, end superscript, equals, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, \Longleftrightarrow, log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 4, end color #0d923f
Les deux égalités traduisent la même relation entre start color #11accd, 2, end color #11accd, start color #0d923f, 4, end color #0d923f et start color #e07d10, 16, end color #e07d10. start color #11accd, 2, end color #11accd s'appelle la base du logarithme et start color #0d923f, 4, end color #0d923f est la puissance à laquelle est élevé 2.
La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance, start color #e07d10, 16, end color #e07d10, tandis que dans la forme logarithmique, on isole l'exposant, start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Voici d'autres exemples :
LogarithmesPuissances
log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 8, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 8, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 3, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 81, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 3, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 81, end color #e07d10
log, start base, start color #11accd, 5, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 25, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 2, end color #1fab54\Longleftrightarrowstart color #11accd, 5, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 25, end color #e07d10

Définition du logarithme de base b

Par définition, si a, is greater than, 0 et b, is greater than, 0,
log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, c, end color #1fab54, \Longleftrightarrow, start color #11accd, b, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, c, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, a, end color #e07d10
Ces deux égalités sont équivalentes, elles traduisent la même relation entre start color #e07d10, a, end color #e07d10, start color #11accd, b, end color #11accd et start color #0d923f, c, end color #0d923f :
  • start color #11accd, b, end color #11accd est la start color #11accd, start text, b, a, s, e, end text, end color #11accd de la puissance et c'est aussi la base du logarithme,
  • start color #0d923f, c, end color #0d923f est l' start color #0d923f, start text, e, x, p, o, s, a, n, t, end text, end color #0d923f,
  • start color #e07d10, a, end color #e07d10 est la start color #e07d10, start text, p, u, i, s, s, a, n, c, e, end text, end color #e07d10 et c'est aussi l'argument du logarithme.

À ne pas oublier

Quand on passe de la forme exponentielle à la forme logarithmique ou vice-versa, la base du logarithme et la base de l'exponentielle sont les mêmes.

À vous !

Voici des exercices où il s'agit de passer d'une égalité comportant une puissance à l'égalité équivalente comportant un logarithme.
Exercice 1
Laquelle de ces égalités équivaut à 2, start superscript, 5, end superscript, equals, 32 ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 2
Laquelle de ces égalités équivaut à 5, cubed, equals, 125 ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 3
log, start base, 2, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, 6 équivaut à :
 

Exercice 4
4) log, start base, 4, end base, left parenthesis, 16, right parenthesis, equals, 2 équivaut à :
 

Calculer un logarithme

Et maintenant, comment calculer un logarithme ?
On veut, par exemple, calculer log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis.
Si x désigne la valeur de ce logarithme, on cherche x tel que
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, equals, x
Ce qui, par définition, est équivalent à :
4, start superscript, x, end superscript, equals, 64
Quelle est la puissance de 4 égale à 64, space, question mark C'est 3 car start color #11accd, 4, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 64, end color #e07d10 et donc log, start base, start color #11accd, 4, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 64, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54.
Avec un peu d'entraînement, vous réduirez ces étapes et dès que vous lirez log, start base, 4, end base, left parenthesis, 64, right parenthesis, vous vous demanderez "Quelle est la puissance de 4 égale à 64, space, question mark"

À vous !

N'oubliez pas que pour trouver la valeur de log, start base, start color #11accd, b, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, a, end color #e07d10, right parenthesis, il suffit de se demander "quelle est la puissance de start color #11accd, b, end color #11accd égale à start color #e07d10, a, end color #e07d10, space, question mark"
Exercice 5
log, start base, 6, end base, left parenthesis, 36, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 6
log, start base, 3, end base, left parenthesis, 27, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 7
log, start base, 4, end base, left parenthesis, 4, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exercice 8
log, start base, 5, end base, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Un dernier exercice
log, start base, 3, end base, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, 9, end fraction, right parenthesis, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Ensemble de définition

log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis est défini pour toute base b, is greater than, 0 et b, does not equal, 1 et tout argument a, is greater than, 0. Ces conditions sont la conséquence directe des propriétés des puissances.
ConditionJustification
b, is greater than, 0Les fonctions exponentielles de base b ne sont définies que si b est strictement positif.
a, is greater than, 0log, start base, b, end base, left parenthesis, a, right parenthesis, equals, c équivaut à b, start superscript, c, end superscript, equals, a. Or toute puissance d'un nombre positif est positive. Donc b, start superscript, c, end superscript, is greater than, 0 et par conséquent a, is greater than, 0.
b, does not equal, 1Si b était égal à 1 alors, par exemple, il existerait un nombre x tel que log, start base, 1, end base, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, x qui serait équivalent à 1, start superscript, x, end superscript, equals, 3. Or toute puissance de 1 est égale à 1, donc un tel nombre x n'existe pas, et b, does not equal, 1.

Logarithmes particuliers

On utilise le plus fréquemment deux bases.
La plupart des calculatrices disposent de touches spécifiques pour ces deux bases.

Le logarithme décimal

Le logarithme décimal est le logarithme de base 10. Il est noté l, o, g, start subscript, 10, end subscript ou tout simplement l, o, g.
Quand la base n'est pas précisée, c'est qu'il s'agit du logarithme de base 10.
log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, log, left parenthesis, x, right parenthesis

Le logarithme népérien

Le logarithme népérien est le logarithme de base e.
Ce logarithme est noté natural log :
log, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, natural log, left parenthesis, x, right parenthesis
L'essentiel à retenir à propos de ces deux logarithmes :
NomBaseNotation généraleNotation spécifique
Logarithme décimal10log, start base, 10, end base, left parenthesis, x, right parenthesislog, left parenthesis, x, right parenthesis
Logarithme népérienelog, start base, e, end base, left parenthesis, x, right parenthesisnatural log, left parenthesis, x, right parenthesis
On utilise généralement la notation spécifique.

Pourquoi étudier les logarithmes ?

Comme on vient de le voir, la fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc très utile pour résoudre les équations comportant des puissances.
Par exemple, la solution de l'équation 2, start superscript, x, end superscript, equals, 5 est x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 5, right parenthesis. On apprendra à calculer une expression comportant un logarithme dans les leçons suivantes.
Les logarithmes s'avèrent très intéressants en eux-mêmes, ils interviennent partout dans le monde qui nous entoure. Beaucoup de phénomènes physiques par exemple sont mesurés à l'aide d'échelles logarithmiques.

La suite ?

Il y en a deux. La première porte sur les propriétés des logarithmes. La deuxième porte sur la formule de changement de base qui permet de calculer n'importe quel logarithme à la calculatrice.

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.