Les mystères de la Loi de Benford

soit prêt dans cette vidéo à découvrir quelque chose de surprenant et de mystérieux il s'agit de la loi de benford qu'on a nommé après ce monsieur franck benford qui a remarqué quelque chose d'étrange en observant des chiffres qui viennent du monde réel par exemple en prenant les populations de différents pays la france par exemple à une population de 66 millions autre exemple la tunisie 11 millions ils ont regardé les 197 pays qui existent dans le monde ben ford a observé en fait le premier chiffre on appelle ça le premier chiffre significatif d'un nombre par exemple pour la france c'est 6 et pour la tunisie c'est un et il lui a semblé que certains chiffres apparaissent plus souvent que d'autres et il a fait le même constat pour beaucoup d'autres nombre qui viennent de la nature alors qu'a priori ces chiffres on imagine ce nombre devrait être plutôt aléatoire et devrait commencer par n'importe quel chiffre au hasard avec la même probabilité mais en fait le chiffre 1 et le chiffre de apparaissent plus souvent que les autres et voilà maintenant un graphique qui risque fort de te surprendre le voilà ce graphique qui nous montre la fréquence d'apparition de chaque chiffre possible entre 1 et 9 en tant que premiers chiffres de la population d'un pays par exemple on avait dit que le premier chiffre pour la france c'était 6 avec ses 66 millions d'habitants ça veut dire que la france sera comptabilisé ici dans cette barre et les pays dans la population commence par le chiffre 6 on en a disons environ 8% et la voilà tu vois quelque chose de très surprenant est vraiment inattendu sur 7 sur ce graphique c'est que 1 et 2 apparaissent bien plus souvent que les autres noms bien plus souvent que 8 et 9 qui apparaissent moins de 5 % du temps 2% -2 5% des pays on a le chiffre 1 qui apparaît pour environ 27% des pays et le chiffre de 15 ans pour environ 17% des pays voilà qui est étrange juste pour pour bien m'assurer que tu as compris comment ce graphique marche par exemple ici on a pris tous les pays dont la population commence par parent par exemple la chine avec ses 1 350 milliard d'habitants la tunisie avec 11 millions d'habitants et c'est tous les tous les pays dont la population commence par le chiffre un et on a divisé par le nombre total de pays obtenant ainsi 27% et la loi de benford c'est une loi mathématique donc ils ressemblent à 7 assez barre verte non pour chaque chiffre et ça c'est la fréquence d'apparition théorique du premier chiffre sur la base d'une loi m de mathématiques que je vais te présenter plus tard et c'est assez surprenant à quel point le premier chiffre de la population d'un pays suit à peu près cette loi avec le 1 et le 2 qui apparaissent plus souvent et donc je te donnera une explication plus tard mais je te je te défie de d'apporter sa propre explication pourquoi 1 et 2 apparaissent plus souvent que les autres autre cas étrange venant du monde réel celui des constantes en physique par exemple la constante de gravitation le nombre d'avogadro on a sélectionné une grande quantité de constantes qui apparaissent en sciences physiques et on a étudié une fois de plus la fréquence d'apparition de 1 2 3 etc jusqu'à 9 en tant que premiers chiffres significatifs de cette constante en physique et même observation ça colle plus ou moins à la loi de benford on est on est vraiment proche de ça effectivement encore une fois ici on voit que le chiffre 1 apparaît presque environ 34 % du temps sur en tant que premiers chiffres significatifs des constantes physiques encore un mystère à présent on lui te montrer ce qui suit approximativement la loi de benford et moi je vais t'expliquer la loi de benford elle-même quelles sont ces nombres qui suivent exactement cette loi de benford et ben je vais montrer un exemple cette suite de nombres cette suite de nombres 2 4 8 16 32 tu vois ce que je suis en train de faire non ce sont les puissances de 2 128 256 je vais assez loin pour que tu comprennes comment on va établir sa 512 ou 1024 etc imagine que je prenne un très grand nombre de de puissance de 2 ensuite je vais étudier la fréquence d'apparition des uns la cèze 128000 24,1 apparaît ensuite la fréquence d'apparition des deux wii 2 ici 256 ça commence par 2 etc je fais ça pour chaque chiffre je vois quelle fréquence il apparaît en premier et j'obtiens très exactement cette loi le chiffre 1 apparaît 30% du temps 30 % du temps alors que ça a l'air complètement aléatoire quels chiffres je devrais obtenir en en première position des deux puissances n est pourtant ça ne l'est pas le chiffre apparaît environ 30% du temps le chiffre de 17,6 pour cent du temps et c'est comme ça non seulement pour les deux puissances ed mais c'est aussi valable pour les trois puissances n c'est valable en fait pour n'importe quel x puissance est du moins que x n'est pas 0 1 ou 10 ans les cas particuliers où lorsque je mets une certaine puissance j'obtiens toujours le même premiers chiffres comme un aux héros mais deux puissances n 3 puis 100 cède 5 puissance 4 4 puis centaines tout ce que tu veux ça marche et ça marche aussi pour la suite de fibonacci tu sais cette suite de nombres qui commence par un et un puits pour trouver le prochain terme je dois additionner les deux d'avant la suite c'est un +122 +133 plus de 5,5 +38 etc si je fais cette même étude de fréquence d'apparition du premier sur le premier chiffre j'obtiens la loi de benford très exactement et voilà donc pour tous qui pour pour les puissances de 2 par exemple ce que je te propose comme défi c'est d'y réfléchir pourquoi pourquoi ce un appareil environ 30% du temps et non pas de manière égale aux autres chiffres je te défie de trouver une explication à ce mystère et rendez vous à la prochaine vidéo pour la solution