If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal

Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 11 

Leçon 27: Résoudre une équation qui comporte une exponentielle
Mathématiques
Algèbre
Les fonctions exponentielles et les fonctions logarithmes
Résoudre une équation qui comporte une exponentielle
© 2023 Khan AcademyConditions d'utilisation (en anglais)Politique de confidentialitéUtilisation de cookies

Résoudre une équation dans laquelle l'inconnue est en exposant

Google Classroom
Les équations de la forme a⋅b^(cx)=d. Par exemple, l'équation 6⋅10^(2x)=48.
Pour résoudre une équation où l'inconnue est en exposant, on utilise quasi-systématiquement les logarithmes ! Quelques exemples pour comprendre.

Résoudre une équation de la forme a, times, b, start superscript, x, end superscript, equals, d

Comment résoudre l'équation 5, times, 2, start superscript, x, end superscript, equals, 240, space, question mark
On commence par isoler la puissance. Pour cela, on divise les deux membres par 5. Remarque : Attention à ne pas faire l'erreur de multiplier 5 et 2 !
5×2x=2402x=48\begin{aligned} 5\times 2^x&=240 \\\\ 2^x&=48 \end{aligned}
Pour résoudre cette équation, on passe par un logarithme.
start color #11accd, 2, end color #11accd, start superscript, start color #1fab54, x, end color #1fab54, end superscript, equals, start color #e07d10, 48, end color #e07d10 équivaut à log, start base, start color #11accd, 2, end color #11accd, end base, left parenthesis, start color #e07d10, 48, end color #e07d10, right parenthesis, equals, start color #1fab54, x, end color #1fab54.
Et l'équation est résolue ! La valeur exacte de la solution est x, equals, log, start base, 2, end base, left parenthesis, 48, right parenthesis.
48 n'est pas une puissance rationnelle de 2, donc pour calculer une valeur approchée de start text, l, o, g, end text, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 48, right parenthesis on utilise la formule start text, l, o, g, end text, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, 48, right parenthesis, equals, start text, l, o, g, end text, left parenthesis, 48, right parenthesis, slash, start text, l, o, g, end text, left parenthesis, 2, right parenthesis et la calculatrice.
x=log⁡2(48)=log⁡(48)log⁡(2)≈5,585\begin{aligned} x &= \log_{2}(48) \\\\ &=\dfrac{ \log(48)}{\log(2)} &&{\gray{\text{}}} \\\\ &\approx 5{,}585 &&{\gray{\text{}}} \end{aligned}
La valeur approchée au millième de la solution est x, approximately equals, 5, comma, 585.

À vous !

1) Résoudre l'équation 2, times, 6, start superscript, x, end superscript, equals, 236.
Choisissez une seule réponse :

2) Résoudre 5, times, 3, start superscript, t, end superscript, equals, 20.
Arrondir le résultat au millième.
t, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

3) Résoudre l'équation 6, times, e, start superscript, y, end superscript, equals, 300.
Arrondir le résultat au millième.
y, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Résoudre une équation de la forme a, times, b, start superscript, c, x, end superscript, equals, d

Comment résoudre l'équation 6, times, 10, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 48, space, question mark
On isole la puissance en divisant les deux membres par 6.
6×102x=48102x=8\begin{aligned} 6\times 10^{2x}&=48\\\\ \blueD{10}^{\greenD{2x}}&= \goldD8 \end{aligned}
On passe par le logarithme :
log⁡10(8)=2x\begin{aligned} \log_{\blueD{10}}(\goldD8)&=\greenD{2x} \end{aligned}
On divise les deux membres par 2 :
x, equals, start fraction, space, log, start base, 10, end base, left parenthesis, 8, right parenthesis, divided by, 2, end fraction
C'est la valeur exacte de la solution. Pour trouver sa valeur approchée au millième, on utilise la calculatrice.
x= log⁡10(8)2= log⁡(8)2log⁡10(x)=log⁡(x)≈0,452\begin{aligned} x&=\dfrac{~{\log_{10}(8)}}{2} \\\\ &= \dfrac{~{\log(8)}}{2}&&{\gray{\log_{10}(x)=\log(x)}} \\\\ &\approx 0{,}452 &&{\gray{\text{}}}\end{aligned}

À vous !

4) La solution de l'équation 3, times, 10, start superscript, 4, t, end superscript, equals, 522 est :
Choisissez une seule réponse :

5) Résoudre 4, times, 5, start superscript, 2, x, end superscript, equals, 300.
Arrondir le résultat au millième.
x, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

6) Résoudre l'équation minus, 2, times, 3, start superscript, 0, comma, 2, z, end superscript, equals, minus, 400.
Arrondir le résultat au millième.
z, equals
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3, slash, 5
  • une fraction simplifiée telle que 7, slash, 4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1, space, 3, slash, 4
  • un nombre décimal, comme 0, comma, 75
  • un multiple de Pi, tels que 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Un dernier exercice

7) Les solutions de l'équation left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, start superscript, x, end superscript, minus, 4, right parenthesis, equals, 0 sont :
Choisissez toutes les réponses possibles :

Vous souhaitez rejoindre la discussion ?

Connectez-vous
Vous comprenez l'anglais ? Cliquez ici pour participer à d'autres discussions sur Khan Academy en anglais.