If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si vous avez un filtre web, veuillez vous assurer que les domaines *. kastatic.org et *. kasandbox.org sont autorisés.

Contenu principal
Heure actuelle :0:00Durée totale :8:12

Transcription de la vidéo

dans cette vidéo je vais commencer par revoir un petit peu ce qu'on appelle une croissance exponentielle croissance exponentielle donc ça on en a déjà parlé sur la khan academy et tue c'est probablement ce que c'est donc je vais commencer par revoir ça et puis on s'en servira pour voir ce que c'est qu'une des croissances exponentielles alors je vais prendre le cadre d'une croissance exponentielle donc d'une fonction exponentielle et je vais le prendre quelques valeurs donc je vais faire un tableau de valeur dans la première colonne je vais mettre certaines valeurs de la variable ou fixe et puis la variable y dans une autre colonne voilà alors disons que pour x égal 0 la variable y vaut 3 ensuite dans une croissance exponentielle on sait que à chaque fois qu'on augmente la variable de une unité la variable x2 une unité est bien là variables y va être multipliée toujours par le même facteur toujours par le même nom donc ici on va supposer que pour x égal 1 et bien la valeur y c'est le double de 3 donc ces six donc ici on suppose que le facteur multiplicatif ces deux voilà alors pour x égal 2 du coup la valeur y qui correspond c'est le double de 6 donc ces douze donc ici aussi la valeur y a été multiplié par deux voilà ça c'est le fondement de la croissance exponentielle à chaque fois que x augmente de une unité y est multipliée toujours par le même nombre par le même facteur qu'on appelle le facteur multiplicatif alors ici on peut même mettre des valeurs négatives par exemple si x est égal à -1 et bien la valeur que j'aurais dû y pour l'obtenir je dois faire l' inverse c'est à dire diviser par deux donc ici je vais avoir trois demis effectivement tu vois que pour passer de cette valeur à 3 il faut ici aussi multiplié par deux voilà alors je vais faire un petit dessin je vais enlever ça je fais un graphique pour représenter ces points et voile allures de la courbe que ça donne alors j'ai déjà un premier axe ici ensuite je vais mettre l'axé des abscisses ici donc ici j'ai lax dx ici j'ai lax désordonnée l'accès y ici c'est zéro et puis je vais choisir une échelle différente sur les deux axes la variable xv à 2 - 1 donc on va le mettre ici - 1 à deux donc la g 1 et ici 2 voilà et puis en ordonner les valeurs vont de 0 à 12 donc je vais les grades 8 3 en 3 donc ici je vais m 3 donc là 6 9 et 12 voilà alors le premier point que je vais placer je vais le faire orange c'est celui ci le point de coordonnées moins un et trois demi donc moins 1,3 demi c'est ici ensuite j'ai le point de coordonnées 0,3 alors celui là il a une importance particulière en fait ça c'est ce qu'on appelle souvent lors donné à l'origine c'est leur donner du point d'intersection avec l'axé des ordonnées donc j'ai ce point ci qui appartient à ma courbe et puis [Musique] j'ai le point de coordonnées 1-6 1-6 c'est donc c'est ici et puis le dernier point c'est de le point de coordonnées de 12 donc il est ici à peu près alors je vais essayer de tracer la courbe en reliant les points je vais essayer de le faire le mieux possible c'est pas évident voilà voilà c'est à peu près comme ça bon call important à retenir c'est que ici si on prolonge l axe côté des valeurs négatives et bien la courbe se rapprocherait toujours de l'axé des abscisses sans jamais le toucher donc on se rapproche de lax la courbe devient de plus en plus horizontale mais elle ne touche jamais la kz des abscisses autrement dit l'axé des abscisses est une asymptote ans - la fille alors ce qui est intéressant dans le cas d'une croissance exponentielle c'est qu'on peut tout de suite très facilement déterminer l'équation de cette courbe donc l'expression de la fonction exponentielle qui représentait ici en fait cette fonction donc c'est une fonction que j'appelle f 2 x elle va être déterminé comme cela c'est trois fois la première chose c'est qu'on prend l'eau redonner à l'origine donc ici c'est 3 et qu'on multiplie par le facteur multiplicatif donc qui est ici 2 élevé à la puissance x élevé à la puissance la variable voilà ça c'est la fonction une fonction exponentielle de base deux associés à cette croissance exponentielle donc à cette courbe là voilà maintenant va servir de ça pour examiner le cas d'une des croissances exponentielles alors je vais procéder exactement de la même manière que tout à l'heure je vais prendre tableaux de valeur pour comprendre un peu ce qui se passe donc ici je mets ma variable x ici la variable y est je vais prendre un exemple proche donc on va dire que pour la valeur x égal zéro la valeur y c3 donc leur donner à l'origine ces 3 depuis ici je vais prendre une autre valeur pour x égal 1 est ce qu'on veut nous c'est qu'il y ait une décroissance donc si on veut une décroissance qu'on peut faire c'est / quelque chose donc ici en fait je vais divisée par deux ce qui revient à x 1,2 me donc je vais prendre ça comme facteur multiplicatif donc ici la valeur que je vais obtenir pour ix égal 1 c y et galles 3 2 me ensuite pour x égal 2 je vais / de aussi donc multiplié par 1 demi donc je vais obtenir la valeur trois quarts voilà ici on multipliant encore par un demi c'est ça une des croissances exponentielles là effectivement nos valeurs y ont diminué elles ont été à chaque fois divisée par deux on peut remplir aussi comme on l'a fait tout à l'heure pour les valeurs négatives par exemple pour x égales - 1 eh bien il faudrait que en partant de trois jeux face l'opération inverse à la multiplication par un demi c'est à dire / 1/2 ce qui revient à multiplier par 2 donc ici en fait je vais avoir trois fois 2 c'est à dire 6 et tu vois bien que quand je reprends les choses dans le bon ordre pour passer de 6 à 3 g aussi multiplié par 1 2 me voilà donc maintenant je vais placer sur ce graphique les points qui sont donnés on va voir on va observer cette courbe donc pour le point d'apsys -1 leur donnait ses six donc c'est ce point là pour la valeur x égal zéro l'ordonnait c3 donc la courbe passe aussi par ce point là et puis pour la valeur x égal 1 la valeur y est égal à trois demis qui est ici et enfin pour la valeur deux la valeur de y c trois quarts ici donc là aussi comme tout à l'heure je vais essayer de tracer cette courbe le mieux possible voilà voilà et donc ça c'est la courbe obtenu que je peux prolonger un peu comme ça à vue de nez est-ce qu'on peut remarquer ici c'est que les deux courbes sont symétriques par rapport à l'axé des ordonnées ça c'est quelque chose d'intéressant alors maintenant on va essayer de déterminer l'équation de cette courbe donc c'est la courbe d'une fonction que je vais appeler g g2x qui va être défini de cette manière là je vais d'abord placé lors donné à l'origine qui est roi ici multipliez donc 3 x le facteur multiplicatif 1/2 élevé à la puissance x donc tu vois on obtient une expression tout à fait proche de celle de f en a ici une fonction exponentielle de base un demi et en fait qu'est-ce qui va différencier qu'est ce qui va faire que celle ci correspond à une croissance exponentielle et celle ci à une des croissances exponentielles est en fait dans le cas d'une croissance exponentielle la valeur absolue de ce nombre là du facteur multiplicatif ou bien de la base de ta fonction exponentielle si tu préfères et bien en valeur absolue il est plus grand que ici valeur absolue de 2 est plus grand que 1 par contre ici ce qu'on a c'est un facteur multiplicatif qui est plus petit que 1 donc en général il faut que en valeur absolue le facteur multiplicatif soit plus petit que 1 et dans ce cas là on a une des croissances exponentielles voilà donc en règle générale quand tu es une fonction de ce style là h2x égale une constante x un certain facteur multiplicatif disons qu élevé à la puissance x eh bien tu es face à une croissance exponentielle ou à une des croissances exponentielles et en particulier si la valeur absolue de cul est plus petit que 1 et bien c'est une des croissances exponentielles c'est à dire que cette fonction-là h sera décroissante celui de cul est plus grande que 1 eh bien tu seras dans le cadre d'une fonction h croissante donc d'une croissance exponentielle et c'est ce qui est illustré ici tout à fait bien quand on multiplie par un demi qui est plus petit que 1 eh bien les valeurs y diminue alors que si on multiplie par 2 qui est plus grand que les valeurs forcément augmente