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Cours : Algèbre > Chapitre 7

Leçon 14: Opérations sur les fonctions

Additionner ou soustraire deux fonctions

Voir comment on peut ajouter ou soustraire deux fonctions pour en créer une nouvelle.

A partir de deux fonctions

f

g

, on peut définir la fonction somme de ces deux fonctions et la fonction différence de ces deux fonctions.

Définir la fonction somme

Exemple

On prend un exemple

f

g

sont les fonctions telles que

f (x) = x + 1

g (x) = x^{2} - 2 x + 5

, quelle est l'expression de

(f + g) (x)

Réponse

Il faut d'abord bien comprendre la notation

(f + g) (x)

La fonction

f + g

est la fonction qui à

x

fait correspondre

f (x) + g (x)

. Autrement dit

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

Donc ce n'est pas difficile !

\begin{aligned} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \\ = (x + 1) + (x^{2} - 2 x + 5) \\ = x + 1 + x^{2} - 2 x + 5 \\ = x^{2} - x + 6 \end{aligned}

Graphiquement :

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions

f

g

et celle de la fonction

f + g

Sur le premier graphique, on lit que

f (2) = 3

et que

g (2) = 5

. Sur le deuxième, on lit que

(f + g) (2) = 8

3 + 5 = 8

, donc

f (2) + g (2) = (f + g) (2)

On peut vérifier aussi que

f (1) + g (1) = (f + g) (1)

Calculer :

f (1) =

g (1) =

(f + g) (1) =

A vous !

Dans les deux exercices,

a (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2

b (x) = x^{2} + 8 x - 10

Exercice 1

Établir l'expression de la fonction $a + b$ ‍.

Exercice 2

Calculer $(a + b) (- 1)$ ‍.

Il y a deux façons de calculer

(a + b) (- 1)

Méthode 1 : Établir l'expression de

(a + b) (x)

et calculer sa valeur pour

x = - 1

On a déjà établi que

(a + b) (x) = 4 x^{2} + 3 x - 8

. On remplace

x

par

- 1

$\begin{aligned} (a + b) (x) & = 4 x^{2} + 3 x - 8 \\ (a + b) (- 1) & = 4 \times (- 1)^{2} + 3 \times (- 1) - 8 \\ = 4 - 3 - 8 \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Méthode 2 : On peut aussi calculer

a (- 1)

b (- 1)

et additionner les résultats.

On calcule

a (- 1)

$\begin{aligned} a (x) & = 3 x^{2} - 5 x + 2 \\ a (- 1) & = 3 \times (- 1)^{2} - 5 \times (- 1) + 2 \\ = 3 + 5 + 2 \\ = 10 \end{aligned}$ ‍

On calcule

b (- 1)

$\begin{aligned} b (x) & = x^{2} + 8 x - 10 \\ b (- 1) & = (- 1)^{2} + 8 \times (- 1) - 10 \\ = 1 - 8 - 10 \\ = - 17 \end{aligned}$ ‍

Donc :

$\begin{aligned} (a + b) (- 1) & = a (- 1) + b (- 1) \\ = 10 + (- 17) \\ = - 7 \end{aligned}$ ‍

Comme on avait déjà établi l'expression de

a + b

, c'est la première méthode qui est la plus rapide.

Définir la fonction différence

On opère de façon analogue pour la fonction différence.

Exemple

p (t) = 2 t - 1

q (t) = - t^{2} - 4 t - 1

On calcule

(q - p) (t)

Réponse

Ici encore, il faut bien comprendre la notation

(q - p) (t)

Par définition,

(q - p) (t) = q (t) - p (t)

\begin{aligned} (q - p) (t) \\ = q (t) - p (t) . \\ = (- t^{2} - 4 t - 1) - (2 t - 1) . \\ = - t^{2} - 4 t - 1 - 2 t + 1 \\ = - t^{2} - 6 t \end{aligned}

Donc

(q - p) (t) = - t^{2} - 6 t .

A vous !

Exercice 3

j (n) = 3 n^{3} - n^{2} + 8

k (n) = - 8 n^{2} + 3 n - 5

Calculer $(j - k) (n)$ ‍.

Exercice 4

g (x) = 4 x^{2} - 7 x + 2

h (x) = 2 x - 5

Calculer $(h - g) (3)$ ‍.

Il y a deux façons de calculer

(h - g) (3)

Méthode 1 : Calculer

h (3)

g (3)

et soustraire les résultats.

On calcule

h (3)

$\begin{aligned} h (x) & = 2 x - 5 \\ h (3) & = 2 \times 3 - 5 \\ = 1 \end{aligned}$ ‍

On calcule

g (3)

$\begin{aligned} g (x) & = 4 x^{2} - 7 x + 2 \\ g (3) & = 4 \times 3^{2} - 7 \times 3 + 2 \\ = 36 - 21 + 2 \\ = 17 \end{aligned}$ ‍

Donc,

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = h (3) - g (3) \\ = 1 - 17 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Méthode 2 : Établir l'expression de

(h - g) (x)

et calculer sa valeur pour

x = 3

$\begin{aligned} (h - g) (x) & = (2 x - 5) - (4 x^{2} - 7 x + 2) \\ = 2 x - 5 - 4 x^{2} + 7 x - 2 \\ = - 4 x^{2} + 9 x - 7 \end{aligned}$ ‍

x = 3

, alors :

$\begin{aligned} (h - g) (3) & = - 4 \times 3^{2} + 9 \times 3 - 7 \\ = - 36 + 27 - 7 \\ = - 16 \end{aligned}$ ‍

Dans les deux cas, on trouve que

(h - g) (3) = - 16

Une application

Une université a établi que si on prend comme année initiale l'année

1980

, les fonctions

g

f

qui à l'année

t

font respectivement correspondre le nombre de garçons et le nombre de filles reçus aux examens de fin d'année sont définies par

g (t) = 526 - t

f (t) = 474 + 2 t

On appelle

n

la fonction qui à l'année

t

fait correspondre le nombre d'étudiants reçus à leurs examens de fin d'année dans cette université.

Établir l'expression de $n (t)$ ‍.

n (t) =

Un dernier exercice

Ci-dessous les courbes représentatives des fonctions

f

g

Laquelle de ces deux courbes est celle de la fonction $f + g ?$ ‍

On va déterminer

(f + g) (x)

pour une valeur particulière de

x

. On prend

x = 4

\begin{aligned} (f + g) (4) & = f (4) + g (4) \\ = 4 + g (4) car f (4) = 4 \\ = 4 + 0 car g (4) = 0 \\ = 4 \end{aligned}

(f + g) (4) = 4

, donc la courbe représentative de

f + g

passe par le point de coordonnées

(4, 4)

. On voit que seule la courbe

A

passe par ce point, donc la courbe de la fonction

f + g

est la courbe

A

On a pris la valeur

4

, mais on aurait pu prendre une autre valeur particulière. Par exemple :

$x$ ‍	$f (x)$ ‍	$g (x)$ ‍	$(f + g) (x)$ ‍
$- 8$ ‍	$- 8$ ‍	$0$ ‍	$- 8$ ‍
$- 6$ ‍	$- 6$ ‍	$1$ ‍	$- 5$ ‍
$- 4$ ‍	$- 4$ ‍	$0$ ‍	$- 4$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2$ ‍	$- 1$ ‍	$- 3$ ‍
$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍	$0$ ‍
$2$ ‍	$2$ ‍	$1$ ‍	$3$ ‍
$4$ ‍	$4$ ‍	$0$ ‍	$4$ ‍
$6$ ‍	$6$ ‍	$- 1$ ‍	$5$ ‍
$8$ ‍	$8$ ‍	$0$ ‍	$8$ ‍

Donc la courbe de

f + g

passe par les points de coordonnées

(- 8, - 8)

(- 6, - 5)

(- 4, - 4)

(- 2, - 3)

(0, 0)

(2, 3)

(4, 4)

(6, 5)

(8, 8)

. C'est bien la courbe

A

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Mansouri Alaa
Posté il y a il y a 7 ans. Lien direct vers le message de Mansouri Alaa «comment peut on resoudre ... »
comment peut on resoudre cet ex :
3f(-x)+f(x)=4x*x*x +2x
il me demande de montrer que f est impaire et apres deduire f(x) ...
(x*x*x signifie x au cube )
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