Ensemble image d'une fonction du second degré

Cette leçon porte sur l'ensemble image d'une fonction du second degré.

L'ensemble image d'une fonction $f$‍ est l'ensemble des images $f(x)$‍ des nombres de l'ensemble de définition de $f$‍. L'ensemble de définition d'une fonction du second degré est l'ensemble des réels.

Quel est l'ensemble image de la fonction $f$‍ définie par $f(x)=-2(x+3{)}^2+7?$‍

Il est relativement simple de déterminer si tel ou tel nombre donné est l'image d'un réel par la fonction, autrement s'il est l'une des valeurs prises par la fonction.

Par exemple, $9$‍ appartient-il à l'ensemble image de $f$‍, autrement dit $y=9$‍ est-elle l'une des valeurs de la fonction ?

Cela revient à chercher s'il existe une valeur de $x$‍ telle que $f(x)=9$‍, donc à résoudre l'équation $f(x)=9$‍. Si cette équation a au moins une solution, alors $y=9$‍ est une des valeurs de la fonction. Si elle n'a pas de solution, alors $y=9$‍ n'est pas une des valeurs de la fonction.

Mais il y a une infinité de nombres réels, donc il est impossible de trouver de cette façon-là tous les éléments de l'ensemble image. Alors comment faire ?

La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole.

Voici la parabole représentative de la fonction $f$‍ :

Au vu de cette parabole, il est clair que $y=9$‍ n'est pas l'une des valeurs de la fonction.

On va tester deux autres valeurs de $y$‍.

Donc la courbe représentative de la fonction permet de vérifier si telle ou telle valeurs de $y$‍ est, ou n'est pas, l'une des valeurs de la fonction. Par conséquent, elle permet de déterminer l'ensemble image de fa fonction.

Par exemple, on lit sur la parabole représentative ci-contre que le maximum des valeurs de la fonction est $7$‍. Et on voit aussi que comme la parabole est orientée vers le bas, toute valeur de $y$‍ inférieure à $7$‍ est aussi une valeur de la fonction.

Et on en déduit que l'ensemble image de la fonction $f$‍ est l'ensemble des nombres réels inférieurs ou égaux à $7$‍. Cet ensemble est noté $\{y\in \mathbb{R}|y\le 7\}$‍.

$g$‍ est la fonction définie par $g(x)=(x-4{)}^2-5$‍. Sa parabole représentative est :

Peut-être vous demandez-vous si l'on doit obligatoirement tracer la parabole représentative de la fonction pour déterminer son ensemble image. La réponse est non !

On reprend les deux exemples.

Donc pour déterminer l'ensemble image d'une fonction du second degré, il suffit de connaître l'ordonnée du sommet de sa parabole représentative et de savoir si cette parabole est orientée vers le haut ou vers le bas.

Quand la fonction est sous forme canonique, $f(x)=a(x-h{)}^2+k$‍, on sait que l'ordonnée du sommet de sa parabole représentative est $y=k$‍, et que si $a>0$‍ cette parabole est orientée $\text{vers le haut}$‍ et si $a<0$‍, elle est orientée $\text{vers le bas}$‍.