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Établir l'expression de la réciproque d'une fonction affine

Transcription de la vidéo

alors dans cette vidéo on va essayer de trouver l'expression de la fonction réciproque d'une fonction affine ici on a une fonction affine fdx égales - x + 4 et on a tracé sa droite représentative dans ce repaire ici en bleu est ce qu'on va faire c'est donc essayer de trouver l'expression de la fonction réciproque de f alors pour ça il faut bien comprendre ce que fait cette fonction là on part d'un nombre x qui est la variable qui est un nombre réel et on calcule son image qu'on appelle f 2 x qui est égal à -6 +4 en fait cette image on peut tout à fait appeler y donc en fait ce que fait cette fonction c'est partir d'un nombreux x et lui associer un autre nombre qui est son image que je vais appeler y ait en fait y peut s'écrire en fonction de l'x de cette manière là y c'est moins x + 4 alors si je veux trouver l'expression de la fonction réciproque de f il faut que j'arrive à exprimer non pas y en fonction de x comme c'est le cas ici mais x en fonction d'eux y alors pour faire ça je vais tout simplement manipuler cette expression là algébrique mans déjà je vais soustraire 4 des deux côtés donc j'obtiens y -4 égal à moins 6 et puis là je peux x moins un des deux côtés et j'obtiens - y +4 est égal à x est en fait ce que j'obtiens ici c'est une expression de x en fonction d'eux y de l'écrire comme ça si tu préfères on a x qui est égal à moins y +4 est égal à moins y +4 en fait cette expression là elle définit une nouvelle fonction qui est la fonction réciproque de f est l'expression de cette fonction c'est f moins 1,2 y y qui est égal à - y - y +4 donc ici je pars d'un nombre y est je calcule son image qui est moins y +4 alors ça c'est exactement l'expression de la fonction réciproque de f et si tu veux on peut tout à fait changer non de cette variable qui est ici y est la plaie x tout simplement pour obtenir une expression un peu plus classique donc je l'obtiens cette expression l'aef -1 2 x est égal à -6 +4 voilà alors je t'avais expliqué dans une première dans la première vidéo sur les fonctions réciproque que la courbe représentatif d'une fonction f et la courbe représentatif de sa fonction réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équations y est gallix donc si tu veux je peux tracé cette droite là je vais le faire comme ça voilà ça c'est la droite d'équations y égale x alors ici ce qu'on peut voir c'est que finalement la fonction af et sa fonction réciproques sont identiques ce sont les mêmes fonctions elles ont exactement la même expression ici tu vois cf 2x est égal à -6 +4 et ici f - 1 2x égales - x + 4 donc ait fait ça réciproques sont les mêmes fonctions et en fait le recours aux représentatives seront les mêmes ce sont des droite confondues c'est à dire que si tu traces la droite d'équations y égalment f - 1 2x et bien tu vas trouver exactement cette droite là en bleu alors ici ça se voit c'est de droite là sont perpendiculaires ici on a un angle droit ce qui veut dire que si tu traces la droite symétrique de cette droite là par rapport à la droite y est gallix et bien tu veux obtenir exactement la même droite 1 alors on peut le voir aussi en calculant un certain nombre de valeurs si tu prends par exemple la valeur x égal 2 donc ici tu vas pouvoir trouver l'image paref de cette valeur et c2 donc f-22 est égal à 2 et si tu prends les choses dans l'autre sens donc en partant de la fonction réciproque et tu calcules l'image de deux par la fonction réciproque donc tu pars d'ici x égal 2 c'est ici et tu va regarder l'ordonné du point correspondant sur la droite d'équations y égaler f - 1 2x qui s'y est aussi la droite bleus et tu obtiens que f moins deux de ces deux tu peux aussi calculé par exemple je sais pas f20 f20 c'est égal à 4 et si tu calcules f - 1 2 4 donc l'image de 4 par la fonction réciproque de f eh bien tu peux le lire sur le graphique f20 c4 et f - 1 2 4 c zéro et sûrs et obtenu exactement le résultat en calculant l'image de zéro à partir de l'expression de f moisins on obtient de toute façon que f moyen de 4 est égal à zéro si on prend f25 par exemple x égale 5 l'image de 5 par la fonction est fait bien ça sera je le peux le lire ici ça sera moins 1 donc f25 est égal à -1 tu aurais pu aussi obtenir ce résultat à partir de l'expression de f et puis si tu calcules images de -1 par la fonction réciproque de f donc tu calcules f - 1 2 - 1 eh bien ça tu sois tu le lis sur le graphique pour x égal moins on est ici et si tu retrouver l'image de -1 sur le graphique et bien tu trouves et 5 donc on part de 5 on arrive à -1 en calculant l'image de 5 par f et puis si on calcule l'image de -1 par la banque sur l'a6 proc eh bien on fait le chemin inverse f - 1 2 - 1 c'est égal à 5 alors ce qui se passe exactement ce qu'on avait vu dedans dans la première vidéo on a un ensemble de départ qui est l'ensemble de définition de la fonction est fait ici c'est l'ensemble des nombres réels et on a un un domaine image d'ensemble image qui est l'ensemble des images de la fonction f est ce qu'on vient de voir ici c'est que si on part par exemple du nombre 5 dans l'ensemble de définition est bien la fonction relève à associer à ce nombre cinq le nombre moins un qui va être dans l'ensemble images ici voilà donc ça c'est ce qu'ont ce qui se passe quand on applique la fonction f quand on applique la fonction f moisan réciproque de f on part 2 - 1 et on revient au nombre 5 donc f - 1 2 - 1 est égal à 5 et tu vois que cette fonction réciproque c'est bien le chemin inverse de la fonction f voilà alors on va faire un autre exemple avec cette fonction affine encore une autre fonction affine g2x qui est égal à - 2 x - la droite représentative de cette fonction est tracée ici et on va là aussi essayer de trouver l'expression de la fonction réciproque de g alors comme tout à l'heure ce qu'on va faire c'est appeler y l'image de x donc on va exprimer y en fonction de x de cette manière là y ses -2 6 - 1 et puis on va à partir de cette expression là qui exprime y en fonction de l'x essayer de trouver une expression de x en fonction de y alors pour ça je vais comme tout à l'heure manipuler cette expression là je vais commencer par additionner un des deux côtés j'obtiens y plus un égale à moi 2x et puis là je peux / - 2 donc j'obtiens - 1/2 de y - 1/2 égal à x ce que je peux écrire aussi comme ça si tu préfères x et xi est égal à -1 2 me de y - 1/2 alors ici j'ai une expression de x en fonction d'eux y ce que je peux tout à fait considérée comme une fonction et cette fonction est bien c'est la fonction réciproque de g donc je vais là noté comme ça en fait c'est j'ai moins 1,2 y y et galles - 1/2 de y - 1/2 obtenir une expression un petit peu plus que les classiques je vais changer le nom de la variable tout simplement et je vais dire que cette fonction réciproque c'est g - 1 2x égales - 1/2 de x - 1/2 voilà alors ce passage-là doit pas troubler un ici quand on a cette expression là ça veut tout simplement dire que je pars d'un nombre y je calcule cette expression là - 1/2 de y moins un demi et je trouve l'image de y par cette fonction là et finalement ici le nom de la variable n'a aucune importance je pourrais le remplacer par un n'importe quel autre nom de variables alors ici aussi ce que je peux faire c'est tracé la droite d'équations y égale x qui est celle là voilà ça c'est la droite d'équations y égale x et je peux aussi tracer la courbe représentatives de la fonction réciproque de jets qui est une droite aussi ici on a bien une fonction affine et ça va être une droite alors d'ordonner à l'origine - 1/2 - 1/2 qui est ici qu elle va passer par ce point là et puis elle a une pente de -1 2 me ce qui veut dire que quand j'augmente la variable de deux unités les images vont diminuer de une unité donc cij j'augmente la variable de deux unités j'arrive ici en partant de ce point là j'arrive ici et j'aurais diminué de une unité donc je vais me retrouver ici finalement la droite représentatives de la fonction réciproque de g passe par ces deux points là donc je vais la trace est à peu près voilà donc on obtient cette droite là qu'est la droite équation y égale g - 1 2 x alors je te laisse vérifier que ces deux droites lareau la droite rose et la droite orange sont symétriques par rapport à la droite d'équations y est gallix quittera c'est ici au vert est ce qu'il faut retenir de cette vidéo c'est que pour trouver l'expression de la fonction réciproque d'une fonction affiné bien il faut juste faire un petit peu d'algèbre et au lieu d'exprimer l'image en fonction de l'antécédent il faut renverser les choses pour exprimer l'antécédent en fonction de l'image donc on part d'une expression de y en fonction de x et on essaie de trouver une expression de x en fonction d'eux y est c'est ce qui nous permet de trouver une expression de la fonction réciproque d'une fonction affine données