Fonctions réciproques l'une de l'autre

On dit fonctions réciproques l'une de l'autre car si la fonction $g$g est la réciproque de la fonction $f$f, alors $f$f est la réciproque de $g$g.

Par exemple, la fonction $f$f dont le diagramme sagittal est ci-dessous est la fonction qui à $1$1 fait correspondre $x$x, à $2$2 fait correspondre $z$z et à $3$3 fait correspondre $y$y,

La fonction réciproque de $f$f, notée $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, est la fonction qui à $x$x fait correspondre $1$1, à $z$z fait correspondre $2$2 et à $y$y fait correspondre $3$3, L'ensemble de départ de la fonction $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript est l'ensemble d'arrivée de la fonction $f$f et son ensemble d'arrivée est l'ensemble de départ de la fonction $f$f.

Si l'image de $a$a par la fonction $f$f est $b$b, alors l'image de $b$b par la fonction $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript est $a$a.

On en déduit que :

Voici deux exemples d'application de cette définition.

Soit la fonction $h$h définie par ce diagramme sagittal. Quelle est l'image de $9$9 par la fonction $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript ?

Il faut bien avoir présent à l'esprit que les éléments de l'ensemble de définition de la fonction réciproque d'une fonction donnée sont les éléments de l'ensemble image de la fonction donnée.

Par définition, si $h^{-1}(9)=x$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, x, alors $h(x)=9$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9, donc l'image de $9$9 par la fonction $h^{-1}$h, start superscript, minus, 1, end superscript est le nombre qui a comme image $9$9 par la fonction $h$h.

On lit sur le diagramme sagittal de la fonction $h$h que $h(6)=9$h, left parenthesis, 6, right parenthesis, equals, 9, donc $h^{-1}(9)=6$h, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 9, right parenthesis, equals, 6.

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g$g. Quelle est l'image de $-7$minus, 7 par la fonction $g^{-1}$g, start superscript, minus, 1, end superscript ?

Par définition, si $g^{-1}(-7)=x$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, x, alors $g(x)=-7$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 7, donc l'image de $-7$minus, 7 par la fonction $g^{-1}$g, start superscript, minus, 1, end superscript est le nombre qui a comme image $-7$minus, 7 par la fonction $g$g.

On lit sur le graphique que $g(-3)=-7$g, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 7.

Donc, $g^{-1}(-7)=-3$g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, minus, 7, right parenthesis, equals, minus, 3.

On peut se demander si les courbes représentatives de deux fonctions réciproques ont une propriété particulière.

Soit la fonction $f$f dont on donne la courbe représentative et un tableau de valeurs.

On peut déduire d'un tableau de valeurs de la fonction $f$f un tableau de valeurs de la fonction $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript. Et de chacun des points de la courbe représentative de $f$f, on peut déduire un point de la courbe représentative de $f^{ -1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript, car si le point de coordonnées $(a~;b)$left parenthesis, a, space, ;, b, right parenthesis est sur la courbe de $f$f, alors le point de coordonnées $(b~;a)$left parenthesis, b, space, ;, a, right parenthesis est sur la courbe de $f^{-1}$f, start superscript, minus, 1, end superscript.

On obtient :

Si on représente les deux courbes sur le même graphique, on voit qu'elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation $y=x$y, equals, x.

Ceci est un résultat général : les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$y, equals, x.

Si à priori cela peut paraître un pur jeu de l'esprit, en fait on s'en sert très souvent !

Un exemple simple : pour convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, on utilise la formule $C=\dfrac59(F-32)$C, equals, start fraction, 5, divided by, 9, end fraction, left parenthesis, F, minus, 32, right parenthesis.

Quand on utilise cette formule, on utilise la fonction qui à $F$F, valeur de la température en degrés Fahrenheit, fait correspondre $C$C, sa valeur en degrés Celsius. Quand on transforme cette formule pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit on obtient $F=\dfrac95C+32$F, equals, start fraction, 9, divided by, 5, end fraction, C, plus, 32, et ceci est l'expression de la fonction réciproque de la fonction précédente.

Et chaque fois que connaissant $y$y en fonction de $x$x, on en déduit l'expression de $x$x en fonction de $y$y, c'est la même idée qui est en jeu.