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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 7 

Leçon 19: Les fonctions réciproques
Mathématiques
Algèbre
Les fonctions
Les fonctions réciproques
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Fonctions réciproques l'une de l'autre

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Qu'appelle-t-on la fonction réciproque d'une fonction donnée ? Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques.
On dit fonctions réciproques l'une de l'autre car si la fonction g est la réciproque de la fonction f, alors f est la réciproque de g.
Par exemple, la fonction f dont le diagramme sagittal est ci-dessous est la fonction qui à 1 fait correspondre x, à 2 fait correspondre z et à 3 fait correspondre y,
Un diagramme sagittal intitulé f. Le premier ensemble comprend les valeurs un, deux et trois. Le second ensemble comprend les valeurs x, y et z. L'origine d'une première flèche est à 1, son extrémité à x. Une autre démarre de 2 et pointe vers z. Une autre démarre à 3 et pointe vers y
La fonction réciproque de f, notée f−1, est la fonction qui à x fait correspondre 1, à z fait correspondre 2 et à y fait correspondre 3, L'ensemble de départ de la fonction f−1 est l'ensemble d'arrivée de la fonction f et son ensemble d'arrivée est l'ensemble de départ de la fonction f.
Un diagramme sagittal intitulé inverse de f. Le premier ensemble comprend les valeurs x, y et z. Le deuxième ensemble comprend les valeurs un, deux, et trois. Une flèche démarre à x et pointe vers un. Une flèche démarre à y et pointe vers trois. Une flèche démarre à z et pointe vers deux.
Une question
Laquelle de ces deux propositions est vraie ?
Choisissez une seule réponse :

Définition

Si l'image de a par la fonction f est b, alors l'image de b par la fonction f−1 est a.
The value a goes into function f and becomes value B which goes into f inverse and becomes value A.
On en déduit que :

f(a)=b⟺f−1(b)=a

Voici deux exemples d'application de cette définition.

Exemple 1 : Une fonction donnée par son diagramme saggital

Un diagramme sagittal intitulé h. Le premier ensemble comprend les valeurs zéro, quatre, six et neuf. Le second ensemble comprend les valeurs trois, sept, neuf et douze. L'origine d'une première flèche est à zéro, son extrémité à sept. Une autre démarre à quatre et pointe vers trois. Une autre démarre à six et pointe vers neuf. Une autre démarre à neuf et pointe vers douze.
Soit la fonction h définie par ce diagramme sagittal. Quelle est l'image de 9 par la fonction h−1 ?

Réponse

Il faut bien avoir présent à l'esprit que les éléments de l'ensemble de définition de la fonction réciproque d'une fonction donnée sont les éléments de l'ensemble image de la fonction donnée.
Par définition, si h−1(9)=x, alors h(x)=9, donc l'image de 9 par la fonction h−1 est le nombre qui a comme image 9 par la fonction h.
On lit sur le diagramme sagittal de la fonction h que h(6)=9, donc h−1(9)=6.

À vous !

Un diagramme sagittal intitulé g. Le premier ensemble comprend les valeurs moins un, zéro, trois et cinq. Le second ensemble comprend les valeurs deux, trois, quatre et huit. L'origine d'une première flèche est à moins un, son extrémité à trois. Une autre démarre de zéro et pointe vers quatre. Une autre démarre à trois et pointe vers huit. Une autre démarre à cinq et pointe vers deux.
Exercice 1
g−1(3)=
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Exemple 2 : Une fonction donnée par sa courbe représentative

Ci-dessous la courbe représentative de la fonction g. Quelle est l'image de −7 par la fonction g−1 ?
Un plan cartésien. L'axe x est gradué en demi-unités, l'axe y en unités. La fonction y égal g de x est une courbe continue qui démarre à moins trois, moins sept et croît lentement jusqu'au point moins un, moins cinq. Puis la courbe croît plus rapidement, passant par les point zéro, moins cinq virgule cinq et un, moins trois virgule cinq. Elle continue à croître rapidement, passant par les points deux, deux et trois, dix.

Réponse

Par définition, si g−1(−7)=x, alors g(x)=−7, donc l'image de −7 par la fonction g−1 est le nombre qui a comme image −7 par la fonction g.
On lit sur le graphique que g(−3)=−7.
Donc, g−1(−7)=−3.
Un plan cartésien. L'axe x est gradué en demi-unités, l'axe y en unités. La fonction y égal g de x est une courbe continue qui démarre à moins trois, moins sept et croît lentement jusqu'au point moins un, moins cinq. Puis la courbe croît plus rapidement, passant par les point zéro, moins cinq virgule cinq et un, moins trois virgule cinq. Elle continue à croître rapidement, passant par les points deux, deux et trois, dix. Il y a une droite verticale, en pointillés, à x égal moins trois, et une droite horizontale, en pointillés, à y égal moins sept. Ces droites se rencontrent au point moins trois, moins sept, qui est repéré.

À vous !

Un plan cartésien. Les deux axes, x et y, sont gradués en demi-unités. La fonction y égal h de x est une droite qui passe par le point moins deux, quatre, par le point zéro, trois, et par le point deux, deux.
Exercice 2
Quelle est l'image de 4 par la fonction h−1 ?
Choisissez une seule réponse :

Un dernier exercice
f est la fonction définie par f(x)=3x−2. Quelle est l'image de 7 par f−1 ?
  • Votre réponse doit être
  • un entier, comme 6
  • une fraction simplifiée telle que 3/5
  • une fraction simplifiée telle que 7/4
  • un nombre fractionnaire, par exemple, 1 3/4
  • un nombre décimal, comme 0,75
  • un multiple de Pi, tels que 12 pi ou 2/3 pi

Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?

On peut se demander si les courbes représentatives de deux fonctions réciproques ont une propriété particulière.
Soit la fonction f dont on donne la courbe représentative et un tableau de valeurs.
Un plan cartésien. Les deux axes, x et y, sont gradués en unités. La fonction y égal f de x est une courbe non linéaire qui passe par les points suivants : le point moins deux, un quart, le point moins un, un demi, le point zéro, un, le point un, deux, et le point deux, quatre.
xf(x)
−214
−112
01
12
24
On peut déduire d'un tableau de valeurs de la fonction f un tableau de valeurs de la fonction f−1. Et de chacun des points de la courbe représentative de f, on peut déduire un point de la courbe représentative de f−1, car si le point de coordonnées (a ;b) est sur la courbe de f, alors le point de coordonnées (b ;a) est sur la courbe de f−1.
On obtient :
Un plan cartésien. Les deux axes, x et y, sont gradués en unités. La fonction y égal f moins un de x est une courbe non linéaire qui passe par les points suivants : le point un quart, moins deux, le point un demi, moins un, le point un, zéro, le point deux, un, et le point quatre, deux.
xf−1(x)
14−2
12−1
10
21
42
Si on représente les deux courbes sur le même graphique, on voit qu'elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation y=x.
A coordinate plane. The x- and y-axes both scale by one. There is a curved lines representing the function y equals f of x. The line is the equation y equals two to the power of x. There is another curved line representing the function y equals f inverse of x. The second line is a reflection of the first curved line over the line y equals x.
Ceci est un résultat général : les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

À vous !

Exercice 3
Voici la droite d'équation y=h(x).
Un plan cartésien. Les deux axes, x et y, sont gradués en unités. La fonction y égal h de x est une droite qui passe par le point zéro, moins deux, et par le point six, zéro.
Sur lequel de ces graphiques est représentée la droite d'équation y=h−1(x) ?
Choisissez une seule réponse :

Exercice 4
La représentation graphique de la fonction h est le segment de droite d'extrémités les points de coordonnées (5 ;1) et (2 ;7).
Déplacer les extrémités du segment jaune de façon à obtenir la représentation graphique de la fonction h−1.

Quelle est l'utilité d'étudier la fonction réciproque ?

Si à priori cela peut paraître un pur jeu de l'esprit, en fait on s'en sert très souvent !
Un exemple simple : pour convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, on utilise la formule C=59(F−32).
Quand on utilise cette formule, on utilise la fonction qui à F, valeur de la température en degrés Fahrenheit, fait correspondre C, sa valeur en degrés Celsius. Quand on transforme cette formule pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit on obtient F=95C+32, et ceci est l'expression de la fonction réciproque de la fonction précédente.
Et chaque fois que connaissant y en fonction de x, on en déduit l'expression de x en fonction de y, c'est la même idée qui est en jeu.

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