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Algèbre
Cours : Algèbre > Chapitre 7
Leçon 19: Les fonctions réciproquesFonctions réciproques l'une de l'autre
Qu'appelle-t-on la fonction réciproque d'une fonction donnée ? Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques.
On dit fonctions réciproques l'une de l'autre car si la fonction est la réciproque de la fonction , alors est la réciproque de .
Par exemple, la fonction dont le diagramme sagittal est ci-dessous est la fonction qui à fait correspondre , à fait correspondre et à fait correspondre ,
La fonction réciproque de , notée , est la fonction qui à fait correspondre , à fait correspondre et à fait correspondre , L'ensemble de départ de la fonction est l'ensemble d'arrivée de la fonction et son ensemble d'arrivée est l'ensemble de départ de la fonction .
Définition
Si l'image de par la fonction est , alors l'image de par la fonction est .
On en déduit que :
Voici deux exemples d'application de cette définition.
Exemple 1 : Une fonction donnée par son diagramme saggital
Soit la fonction définie par ce diagramme sagittal. Quelle est l'image de par la fonction ?
Réponse
Il faut bien avoir présent à l'esprit que les éléments de l'ensemble de définition de la fonction réciproque d'une fonction donnée sont les éléments de l'ensemble image de la fonction donnée.
Par définition, si , alors , donc l'image de par la fonction est le nombre qui a comme image par la fonction .
On lit sur le diagramme sagittal de la fonction que , donc .
À vous !
Exemple 2 : Une fonction donnée par sa courbe représentative
Ci-dessous la courbe représentative de la fonction . Quelle est l'image de par la fonction ?
Réponse
Par définition, si , alors , donc l'image de par la fonction est le nombre qui a comme image par la fonction .
On lit sur le graphique que .
Donc, .
À vous !
Qu'en est-il des courbes représentatives des fonctions ?
On peut se demander si les courbes représentatives de deux fonctions réciproques ont une propriété particulière.
Soit la fonction dont on donne la courbe représentative et un tableau de valeurs.
On peut déduire d'un tableau de valeurs de la fonction un tableau de valeurs de la fonction . Et de chacun des points de la courbe représentative de , on peut déduire un point de la courbe représentative de , car si le point de coordonnées est sur la courbe de , alors le point de coordonnées est sur la courbe de .
On obtient :
Si on représente les deux courbes sur le même graphique, on voit qu'elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice d'équation .
Ceci est un résultat général : les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la droite d'équation .
À vous !
Quelle est l'utilité d'étudier la fonction réciproque ?
Si à priori cela peut paraître un pur jeu de l'esprit, en fait on s'en sert très souvent !
Un exemple simple : pour convertir des degrés Fahrenheit en degrés Celsius, on utilise la formule .
Quand on utilise cette formule, on utilise la fonction qui à , valeur de la température en degrés Fahrenheit, fait correspondre , sa valeur en degrés Celsius. Quand on transforme cette formule pour convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit on obtient , et ceci est l'expression de la fonction réciproque de la fonction précédente.
Et chaque fois que connaissant en fonction de , on en déduit l'expression de en fonction de , c'est la même idée qui est en jeu.
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