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Fonctions réciproques l'une de l'autre

Transcription de la vidéo

bonjour dans cette vidéo je voudrait introduire une notion assez importante qui est celle de fonctions réciproque alors pour clarifier on va travailler d'abord sur un exemple assez simple je vais prendre une fonction simple qui est f 2 x égale disons 2 x + 4 2 6 + 4 cette fonction là c'est une fonction qui associe à un nombre x le nombre 2x plus qu'à alors on peut calculer quelques valeurs de cette fonction par exemple si je prends x égal 2 j'aurais f-22 qui va être égale à deux fois de plus 4 2 fois de plus quatre là rappelle toi je fais uniquement je remplace x par la valeur 2 et je calcule comme ça l'image de deux par cette fonction f alors ça nous donne deux fois deux ça fait 4 + 4 ça fait 8 donc l'image du nombre d'eux par cette fonction c'est 8 je peux calculer comme ça d'autres images si je prends par exemple x égal 3 je vais pouvoir calculer l'image de troie qui est f3 et qui donc sera deux fois 3 + 4 2 fois 3 + 4 2 fois 3 ça fait 6 + 4 ça fait 10 voilà donc en fait ce qui se passe et c'est comme ça pour n'importe quelle fonction on part d'un certain ensemble qui est l'ensemble de définition l'ensemble de départ si tu veux dans lequel on va puiser les valeurs de la variable donc je vais les représenter ça comme ça voilà l'ensemble ça c'est donc l'ensemble de définition de la fonction alors cette fonction qui est ici fonctionnera finale est définie pour toutes les valeurs réelles de la variable x donc l'ensemble de définition c'est l'ensemble de nombreux réel mais c'est pas forcément le cas l'ensemble de définition peut être différent de l'ensemble des nombreux réel en tout cas ce qui se passe c'est qu'à chaque fois qu'on va prendre un nombre dans cet ensemble on va pouvoir lui associer un autre nombre qui va être son image est en fait la situation c'est celle-là on a en fait un autre ensemble qui est ici qu est ce qu on appelle l'ensemble images l'ensemble image de la fonction est en fait c'est l'ensemble des valeurs qu'on peut obtenir en partant de notre ensemble de définition et en appliquant la fonction f autrement dit si tu préfères ici en un an dans un ensemble de départ dans lequel on prend les valeurs de la veuve de la variable x on obtient un ensemble d'arrivée qui en fait l'ensemble des images des valeurs de la variable x par la fonction f alors ici par exemple si je prends dans cet ensemble de définition le nombre d'eux ici c'est que son image ses 8 et que évidemment cette image appartient à l'ensemble d'arrivée de la fonction donc je vais pouvoir placer ici le nombre 8 est ce que je sais c'est que notre fonction f elle associe au nombre de deux le nombre 8 voilà donc je veux peut faire cette association là je peux aussi placé le nombre trois ici voilà et je sais que l'image de 3par la fonction fc 10 donc je vais avoir le nombre 10 ici dans l'ensemble images l'ensemble d'arrivée de ma fonction et ce qui se passe c'est que la fonction f associe aux nombreux trois le nombre 10 voilà ça c'est vraiment un diagramme intéressant qui pose la situation on a un ensemble de définition une fonction qui associé à chaque valeur de cet ensemble de définition un autre nombre qui appartient à l'ensemble d'arriver à l'ensemble image de la fonction alors quand on parle de fonctions réciproque en fait ce qu'on essaie de faire c'est le chemin inverse ici on part de l'ensemble des définitions pour arriver à l'ensemble d'arrivée ensemble images ce qu'on voudrait faire c'est le chemin inverse c'est à dire partir de l'ensemble images et revenir à l'ensemble de définition de manière à retrouver les mêmes nombres plus précisément ici je voudrais trouver une fonction qui au nombre de 8 à saussines au nombre de deux et qui au nombre 10 associe le nombre 3 si elle existe je vais la notte f - en f - 1 et donc ce que je voudrais c'est que f - 1 de 8 soit égale à deux et que f - 1 de 10 soit égal à 3 voilà donc là on a vraiment posé la situation d'une manière assez abstraite mais non ce qu'on va faire c'est essayer effectivement de déterminer quelle est cette fonction-là de trouver l'expression de cette fonction réciproque alors pour faire ça je vais faire quelque chose qu'on a l'habitude de faire c'est à dire que si je prends un nombre x quand je calcule l'image de x j'obtiens un autre nombre qui est f 2 x et que je vais appeler en fait y donc ce que je peux dire c'est que le nombre y est l'image de x par cette fonction est fait bien il s'écrit comme ça en fonction de xy c-26 +4 alors maintenant comme je voudrais faire le chemin inverse ce qu'il faudrait c'est que j'arrive à exprimer x en fonction de y alors pour faire ça je vais faire un petit peu de manipulation algébrique pour essayer d'isoler x alors déjà ce que je peux faire c'est soustraire 4 des deux côtés donc je vais obtenir y -4 égal 2 x ensuite je peux divisé par deux des deux côtés et j'obtiens y sur deux - 4 sur deux ou quatre sur deux ça fait deux donc y sur 2 - 2 est égal à x est donc finalement ce que j'obtiens c'est cette expression là qui exprime x en fonction d'eux y x en fonction de y donc ce que j'obtiens en fait c'est une fonction et cette fonction là je vais l'appeler f - 1 et donc je vais écrire que x est égal à f - 1/2 y voilà donc la gx qui est exprimé en fonction d'eux y cette fonction là je l'appelle f - 1 je connais son expression c'est un demi de y - 2 alors ici la variable s'appelle y mais en fait on pourrais lui donner n'importe quel autre nom à baisser ou z ou ce que tu veux et en fait je peux aussi tout à fait remplacer la variable y parlera par une variable que je vais appeler x tout ça pour retrouver un langage classique en fait je vais considérer la fonction s - 1 2x qui a x associe le nombre 1/2 2x moins deux 1/2 de x - 2 ça c'est un autre nombre que je peux appeler y voilà et ça c'est vraiment une expression classique une fonction et cette fonction là c'est ce qu'on appelle la fonction réciproque de f c'est la fonction réciproque de f alors je te laisse vérifier que cette fonction réciproque fait effectivement le chemin inverse c'est-à-dire en particulier que si tu calcules f - 1 de 8 tu dois trouver 2 et si tu calcules f - 1 2-10 tu dois trouver 3 je te laisse vérifier sa part le calcul alors maintenant ce qui peut être assez intéressant c'est de regarder ce qui se passe au niveau des courbes représentatif de ses fonctions de la fonction f et de sa réciproque alors je veux on va les tracés pour pour observer un petit peu ce qui se passe donc voilà un repère je vais déjà tracé la courbe représentatives de la fonction f donc c'est une droite une droite qui de pente de et d'ordonner à l'origine quatre donc je vais placer ici déjà le point de coordonnées 0 4 1 2 3 4 voilà je sais que la courbe représentatif de f à passer par ce point là et puis je sais aussi que sa pente est égal à 2 donc si j'augmente la variable de une unité les ordonner vont augmenter de 2 unités donc finalement la droite va passer par ce point là voilà alors je vais la trace et maintenant voilà donc ça c'est la courbe représentatives de la fonction et donc c'est y égale f 2 x ensuite je vais tracé la courbe représentatives de la fonction réciproque f - 1 alors c'est une droite aussi de d'ordonner à l'origine - 2 donc je sais qu'elle va passer par le point de coordonner 0 - 2 qu'est celui ci et sa pente est égal à 1,2 me donc quand la variable augmente de 2 unités les ordonner augmente de une unité donc je vais passer aussi par ce point la droite va passer aussi par ce point là pardon alors je peux donc tracé maintenant cette droite à peu près voilà ça c'est la courbe représentatives de la fonction réciproque y égale f - 1 2x alors on peut se demander s'il ya un lien entre ces deux c2 droite effectivement en fait il ya un lien lien très fort entre ces deux droites c'est qu'elles sont en fait symétrique l'une de l'autre par rapport à une droite et cet axe de symétrie et bien c'est la droite d'équations y est gallix alors je vais la trace est ici voilà ça c'est la droite d'équations y égaler x effectivement le la droite verte et la droite rose sont symétriques par rapport à la droite y est gallix que j'ai tracée en bleu ici c'est à dire que si tu prends n'importe quel point de cette droite là et que tu traces sont symétriques tu vas trouver un point de la droite y égale f 2 - 1 2 x par exemple si je prends ce point là je trace son symétrique par rapport à la droite y est gallix j'arrive ici effectivement je tombe sur un point de la droite d'équations y égale f - 1 2x si tu veux on peu formalisés ça un petit peu par le calcul ici si je prends x égal zéro et que je calcule son image par la fonction f donc j'arrive à f/2 0 f 2 0 c'est ce point là on a vu que c'était égal à 4 ensuite si je calcule l'image de ce nombre là par la fonction réciproque f - 1 ça je peux le faire un f - 1 2 4 f moyen de 4 c'est un demi x 4 c'est-à-dire 2 - 2 c'est égal à zéro donc quand je calcule l'image de 4 par la fonction f - j'arrive à 0 voilà alors on peut voir sur le graphique à quoi ça correspond si je pars de la valeur zéro x égal zéro qui est ici je trouve son image par la fonction f donc je la lis sur la droite verte et je trouve que l'image est égal à 4 donc ça correspond à ce qu'on vient de voir ici par le calcul et puis ensuite si je veux trouver l'image de 4 par la fonction réciproque f - 1 eh bien je vais regarder le point d'apsys 4 ici et sont ordonnés correspondante sur la droite rose et je trouve que l'image de 4 par la fonction réciproque c'est zéro voilà alors je te laisse faire d'autres essais avec d'autres valeurs et tu verras que à chaque fois quand tu pars d'une valeur de x que tu calcules son image par la fonction f et qu'ensuite tu calcules l'image de cette valeur que tu viens d'obtenir par la fonction réciproque et bien tu retrouves pour la valeur de x que tu avais choisi au départ voilà on va s'arrêter là pour cette première vidéo sur les fonctions réciproque je voudrais juste attirer son attention sur la différence entre cette fonction réciproque convient d'introduire ici est ce qu'on appelle habituellement la fonction inverse ne s'est pas du tout la même chose et c'est une confusion très très fréquentes là ce qu'on appelle la fonction inverse en général quand tu prends quand tu as une fonction y égale f 2 x et bien ce qu'on appelle l' inverse de cette fonction f linverse de cette fonction est f et bien c'est tout simplement la fonction y égal 1 sur f2 x ce qui est pas du tout la même chose voilà c'est une confusion très très fréquentée je t'engage à bien réfléchir à cette différence à bientôt