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Les fonctions définies par g(x) = f(x + a) +b

On donne les courbes représentatives des fonctions f et g. La courbe de g est l'image de la courbe de f par une translation. Il faut exprimer g(x) en fonction de f(x).

Transcription de la vidéo

dans le repaire origine la courbe d'équations y égale g2x et l'image de la courbe d'équations y égale f 2 x par une suite de transformation en déduire l'expression de g2x en fonction de f2 x alors la courbe bleue qui est là c'est la coop représentatives de la fonction y est ghallef 2x donc a priori ça ressemble à quelque chose qui est une valeur absolue en tout cas ces deux morceaux de droite un premier morceau droite qui a pourtant tu -1 et un deuxième morceau de droite qui a pourtant tu 1 la courbe qui est en violet ici c'est la courbe représentatives de la fonction g et aux voies qu'elle est aussi constituée de deux morceaux de droite un premier morceau de droite qui a pourtant moins aussi et un deuxième morceau droite kapoor pente un aussi donc en fait ces deux courbes là sont tout à fait similaire est en fait la représentation graphique de g on peut l'obtenir par une suite de translation à partir de la représentation graphique de f alors on va essayer de matérialiser cette translation est ce que j'aime bien faire moi pour essayer de matérialiser cette translation là c'est partir d'un point particulier et ici on a des points particuliers pour la poule à fonction f on à ce point là qui est le point minimale de la fonction enfin le minimum de la fonction et qui doit correspondre à ce point là qui est le minimum de la fonction j'ai donc ça ça va m'aider parce que maintenant je vais essayer de trouver une suite de translation qui m'amène ce point là en ce point là alors le plus simple c'est de passer par une translation horizontal et une translation verticale alors ce que je peux faire c'est déjà une translation horizontale je vais déplacer la courbe selon une translation horizontal qui va m'amener ici voilà est donc ici comme ça on arrive à l'ab 6 du minimum de la fonction g donc cette translation là c'est une translation horizontale déplacement horizontal vers la gauche de quatre unités en fait ici on déplace la courbe de moins quatre unités horizontalement vers la gauche ce qui est indiqué par le signe - qui est là ensuite à partir d'ici je peux identifier une deuxième translation qui va être une translation verticale cette fois ci qui va me faire passer d'eux ce point là à ce point là voilà qui est le sommet de la courbe représentatif de g or ici ce qu'on fait c'est décalé les ordonner de alors j'ai combien j'ai 2 4 6 7 on des cales désordonnée de cette unité vers le bas donc en à une translation un décalage de -7 et en fait si je fait subir à la courbe bleue cette suite de deux translation et bien elle va venir se superposer exactement à la courbe représentatif de g alors du coup on va pouvoir se servir de ça pour trouver l'expression de g en fonction de f de manière générale en fait ce que j'ai c'est que la fonction g2x eh bien je vais l'obtenir en calculant f non pas 2 x mais 2x moins le déplacement horizontal que je note comme ça et ensuite ça sera pour la première translation qui est la transmission horizontale et ensuite il faut que j'ajoute le déplacement verticales voilà ici le déplacement horizontal et bien pour nous c'est moins 4 on l'a dit et le déplacement vertical ici c'est moins 7 donc finalement la fonction g2x dans ce cas là et bien c f 2x moins - 4 c'est-à-dire 2 x + 4 plus le déplacement vertical qui est égal à -7 donc moins 7 voilà donc ce assez l'expression de g2x en fonction de fgx alors finalement le déplacement vertical il est assez simple à concevoir on comprend bien que si on décale toutes les ordonner de cette unité vers le bas eh bien ça correspond à ajouter - 7 c'est exactement ce qu'on fait ici c'est un petit peu plus délicat je pense fin pour moi ça a été un peu plus délicat au départ de comprendre pourquoi quand on se déplace horizontalement d'une certaine valeur eh bien ça correspond à remplacer la variable x paris x - la valeur du déplacement alors pour ça je t'engage bien faire attention à chaque fois et apprendre quelques exemples avec des valeurs moi j'aime bien voir ça de cette manière là en ce qu'on doit avoir c'est garder la même valeur de f donc si je veux par exemple avoir f20 ici eh bien il faut que x soit égal à moins 4 donc c'est pour ça qu'on doit soustraire la valeur - 4 alors je sais pas si ça t'aide mais en tout cas ce qui est certain c'est que tu as intérêt si les choses sont encore un peu confuse à prendre quelques exemples avec quelques valeurs de x et à voir ce que ça donne et de toute façon si c'est pas très clair il ya beaucoup d'autres vidéos où on explique ça sur la khan academy donc je t'engage aller les revoir ya même des vidéos dans lequel on ne s'occupe que d'une translation horizontal ce qui sera beaucoup plus clair et puis pour l'instant ce qu'on va faire c'est un autre exemple du même genre on va faire celui-ci maintenant donc on a une courbe d'équations y égale g2x et on nous dit que cette courbe c'est l'image de la coupe d'équations y égal fdx par une suite de transformation comme tout à l'heure par contre qu'est différence est qu'ici on nous donne l'expression de f on nous dit que f 2 x et racine carrée 2x plus 4 - 2 et on nous demande d'en déduire l'expression de g2x alors on va déjà regardé comme tout à l'heure les courbes qui nous sont données ici on voit bien que les deux courbes ont la même forme la courbe d'équations y égale g2x n'est pas déformé par rapport à la courbe d'équations y égal fgx elle n'est pas non plus tourné donc finalement ici la courbe d'équations y égale g2x eh bien on l'obtient simplement par une suite de translation à partir de cette courbe de la fonction f alors je vais rappeler comme tout à l'heure l'expression le cas général d'une fonction j'ai qui est obtenu par une suite de translation donc g2x cf 2 x - le déplacement horizontal plus le déplacement verticales alors ici il faut qu'on arrive à déterminer quels sont ses déplacements alors comme tout à l'heure je vais me placer un point particulier ici celui ci et je vais regarder ce qu'il faut que je fasse pour déplacer ce point là en ce point là alors d'abord je peux me déplacer horizontalement comme ça donc de deux unités vers la gauche donc ça correspond à un déplacement horizontal de -2 et puis ensuite je vais monter en fait je vais me déplacer comme ça verticalement donc deux une deux trois quatre cinq unités donc ça ça correspond un déplacement vertical de +5 donc ici on sait que le déplacement horizontal c'est moins deux et que le déplacement vertical c'est + 5 donc à partir de ça on peut déduire une expression de la fonction j'ai en fonction de la fonction f donc j'ai 2 x ça va être f 2x moins -2 donc f 2 x + 2 plus le déplacement vertical qui est 5 voilà donc ça c'est une expression de la fonction j'ai en fonction de la fonction f mais c'est pas tout à fait ce qu'on me demande parce que ici en demande l'expression de g2x c'est à dire l'expression de g en fonction de x directement alors ça on va pouvoir le faire tout simplement parce qu'on connaît l'expression de rff de x f 2 x ses racines carrées 2x plus 4 - 2 et avec ça je peux calculer f 2 x + 2 f 2 x + 2 f 2 x + 2 et bien c'est tout simplement en fait il faut que je remplace x par x + 2 donc je vais obtenir racine carrée de x + 2 + 4 et puis -2 alors je peux évidemment faire quelques calculs ici sous la racine carrée gx plus de plus 4 c'est à dire x + 6 et puis il y a le moins deux qui est là voilà donc ça cf 2 x + 2 c'est uniquement cette partie là maintenant pour obtenir g2x g2x il faut que je fasse donc f 2 x + 2 qui est ça donc c'est déjà racine carrée de x + 6 - 2 et ensuite il faut que j'ajoute ce +5 qui est là qui était le déplacement vertical donc il faut que j'ajoute cinq ici et donc maintenant je peux conclure en fait ses racines carrées 2x plus 6 - de +5 ça fait plus 3 et donc g2x g2x ses racines carrées 2x plus 6 + 3