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Établir que g n'est pas la réciproque de f en explicitant fog et gof

Si f(x)=2x-3 et g(x)=½x+3, alors f(g(x)) ≠ g(f(x)) ≠ x, donc g n'est pas la réciproque de f.

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Transcription de la vidéo

alors j'essaie deux fonctions ici de fonctions affine la fonction f qui est définie par f2i segal 2x moins 3 et puis la fonction j'ai défini par g2x égale 1/2 de x + 3 alors dans cette vidéo on va composer ses deux fonctions donc on va essayer de trouver l'expression d'une part de f rongé donc on va essayer de déterminer l'expression de f rongé de x et puis on va étudier aussi la composition dans l'autre ordre c'est à dire qu'on va aussi étudier la fonction gérons f donc essayer de déterminer l'expression de geron f 2 x alors on va déjà commencer par la fonction et feront g alors elles feront g2x en fait c'est l'image par la fonction f du nombre g2x donc cf2 alors je fais comme ça f2 g2x f2 g2x comme ça ça veut dire que je vais calculé f non pas pour la valeur x mais pour la valeur g2x alors je vais commencer par l'écrire f2 g2x f2 g2x mais ça va être égale à deux fois je vais remplacer x par g2x dans cette expression donc je vais obtenir deux fois j'ai 2 x 2 x g2x - troyes - troyes alors maintenant ce que je peux faire c'est remplacer g2x par cette expression là son expression et ça va me donner deux fois entre parenthèses 1/2 de x + 3 1/2 2x plus troyes - troyes ce moins trois qui est là alors maintenant je vais développer tout ça je vais arrêter d'utiliser les couleurs ça sert plus à grand chose maintenant je pense que tu as compris donc d'avoir deux fois un demi de x c'est-à-dire en fait x 2 x 1 demi de x + 2 x 3 donc plus 6 - 3 et ça a finalement c'est égal à x + 3 donc ephron g2x c'est-à-dire f2 g2x et bien c'est x + 3 bon maintenant on va essayer de déterminer cette expression la gérons fdx en fait cf suivi de j'ai donc je calcule d'abord fdx et ensuite je calcule g de f2 x alors ça c'est en fait j'ai de f2 x g de f2 x donc comme tout à l'heure je vais calculé jets n'ont pas de x mais de f2 x donc je vais remplacer dans cette expression x paref de x ça me donne alors ça c'est égal à un demi 1/2 de non pas de xmet de f2 x12 mid f 2 x + 3 et puis maintenant je remplace fdx par son expression f 2 x et 2x moins 3 donc je vais écrire ça j'ai donc un demi x 2 x -3 2 x - trois plus trois maintenant je développe ce terme la 1/2 x 2 x a fait x - 3/2 moins trois demis plus trois alors 3 - 3 demi ça fait trois demis donc finalement ce que j'obtiens cx plus 3/2 voilà donc ça c'est l'expression de la fonction grf ségeron f 2 x alors là la première chose qu'on peut remarquer c'est que ephron g2x n'est pas égal à geron f2 ickx mailleux obtenus dans les deux cas des expressions différentes donc les fonctions et front j'ai géré on aime ne sont pas égales et puis surtout ce qui est important c'est que dans aucun des deux cas ici on a fait un une boucle c'est à dire que dans aucun des deux cas on est parti de x pour revenir à x ici on part de x et on arrive à x + 3 alors que ici en amont par 2 x et on arrive à x + 3 2 me donc de toutes façons on n'obtient pas x ce qui veut dire que ces deux fonctions là d'après ce qu'on a vu dans d'autres vidéos ne sont pas réciproque l'une de l'autre effectivement ce qu'on avait vu c'était que quand on compose une fonction avec sa réciproque eh bien on revient au point de départ c'est à dire que si on prend une valeur x dans l'ensemble de départ et qu'on calcule son image par la fonction g par exemple eh bien on obtient donc le nombre g2x g2x le cul l'image de ce point-là g2x par la fonction réciproque donc celle qu'on appelle j'ai moins de ça et bien ce qu'on fait c'est revenir aux nombreux x ici c'est pas du tout ce qui se passe puisque si je pars de x et que je calcule et feront g2x et bien je n'obtiens pas x j'arrive en fait à la valeur x + 3 et non pas la valeur x et dans l'autre sens non plus ça marche pas puisque si je pars de x que je calcule d'abord f 2 x et ensuite j'ai de f2 x eh bien je ne retrouve pas x j'obtiens x + 3 demi donc ici effectivement ces deux fonctions gf ne sont pas réciproque l'une de l'autre donc ici ce qu'on peut dire c'est que la fonction réciproque de g donc j'ai moins 1 2 x est différent de f2 x et puis de la même manière ça que la fonction réciproque de f donc f - 1 2x et bien elle est différente de la fonction j'ai différentes de la fonction j'ai donc s - 2 x n'est pas égal à g2x