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Démontrer que deux fonctions sont réciproques en explicitant leurs  composées

Transcription de la vidéo

alors ici j'ai deux fonctions f 2 x qui est égal à x + 7 élevé à la puissance 3 - 1 kg de x qui est égale à la racine cubique 2x plus un -7 donc ce sont des fonctions qui sont toutes les deux défini sur l'ensemble des nombres réels est ce qu'on va faire dans cette vidéo c'est s'intéresser aux différentes fonctions qu'on peut composer avec f et g autrement dit on va s'intéresser aux fonctions f rongé et j'ai encombre f j'ai suivi de fcf suivi de g alors on va essayer de déterminer les expressions de chacune de ces deux fonctions c'est à dire que déjà on va essayer de calcul et f rongé f rond g2x est front g2x et ça c'est on l'avait déjà vu dans d'autres vidéos cf2 g2x ce que j'écris comme ça f2 g2x f2 g2x ça c'est une première chose et puis après on va essayer de déterminer l'expression de geron m c'est à dire qu'on va essayer de trouver l'expression de g rond f 2 x et gérons f 2 x et bien on peut l'écrire comme ça ces jets de fgx j'ai de fgx voilà alors je vais séparer les deux le l'écran deux parties on va déjà s'occuper de cette composition l'a donc de f ronger alors si je peux calculer est front g2x en fait ça revient calculé f2 g2x donc je vais prendre l'expression de f et au lieu de la variable x je écrire g2x donc ça me donnait sa f2 g2x f2 g2x c'est alors g2x g2x +7 +7 élevé à la puissance 3 - 1 et maintenant que j'ai écrit ça je peux remplacer g2x par son expression en fonction de x qui est donnée ici donc ça va me donner ça alors ici je vais avoir quelque chose élevé à la puissance 3 - 1 et dans la parenthèse ici je vais avoir racine cubique 2x plus un -7 plus cette voie là cette partie là ici ça c'est g2x ça assez g2x donc là j'ai uniquement remplacé g2x par son expression etc ce qui se passe c'est que le moins 7 et le 7 dans sa nul est donc finalement ce que j'obtiens c'est racine cubique 2x plus un élevé à la puissance 3 - za alors ici j'ai racine cubique 2x plus un élevé à la puissance racine cubique 2x plus un cx plus élevé à la puissance un tiers et si j'élève tout ça au cube et bien en fait je vais me retrouver avec x + 1 donc tout ce terme là ici ça c'est x + 1 donc finalement j'obtiens x + 1 x puce 1 - 1 donc 1 - 1 ça s'annule et il me reste x me reste x donc ça c'est intéressant et feront g2x est égal à x alors maintenant je vais faire le même travail avec l'autre fonction composé gérons f 2 x donc je vais écrire j'ai de f2 x c'est à dire que finalement je vais prendre l'expression de g et je vais là calculée non pas en x mais en f2 x donc ça va me donner alors j'ai de f2 x g de f2 x c'est égal à racine cubique racine cubique de f2 x plus un plus un -7 maintenant je vais remplacer f 2 x par son expression fonction de x qui est ici et ça me donne alors racine cubique 2x plus 7x +7 élevé à la puissance 3 - un plus un plus un et puis j'ai aussi le moins 7 qui est là qui peut pas oublier alors ici - et plus sains sans nulle est ce que j'obtiens ses racines cubique 2x plus cette élevé à la puissance 3 x + 7 élevé à la puissance 3 - 7 racine cubique 2x plus est élevé à la puissance 3 en fait ça revient à faire x + 7 élevé à la puissance 3 le taux élevé à la puissance un tiers donc en fait cette partie la cx +7 tout court et j'obtiens finalement que j'ai de fgx est égal à x + 7 x + sets - 7-6 6-7 -7 ça nul et donc j'obtiens là encore j'ai de f2 x égal à ax alors là on obtient finalement quelque chose d'assez intéressant dans les deux cas quand on compose les deux fonctions f et g dans n'importe quel ordre l'expression de la fonction composé obtenu est de toute façon égale à x alors ça c'est un c'est intéressant je vais faire un petit dessin pour qu'on comprenne bien ce qui se passe dans le premier cas ici ce que je fais c'est prendre une valeur x et puis lui associer par la fonction j'ai donc ça c'est la fonction j'ai le nombre g2x je pars d'un nombre x je calcule son image par la fonction g et ensuite je calcule l'image de ce nombre g2x que je viens d'obtenir par la fonction f et j'obtiens ici f2 g2x qui en fait d'après ce qu'on vient de voir est égale x donc finalement tu vois que on part 2 x on arrive à g2x en appliquant la fonction g et ensuite on applique la fonction est fait on revient à x donc d'une certaine manière ce qu'on a fait c'est une boucle on part de x et on revient à x dans l'autre cas dans le cas de la fonction gérons fc exactement la même chose ce qu'on fait c'est que on part d'une valeur x on calcule son image par la fonction f donc on obtient f 2 x et puis ensuite on calcule l'image de ce nombre fdx par la fonction j'ai voilà est ce qu'on n'obtient donc c'est gdf 2x et d'après ce qu'on vient de voir et bien c'est x donc là aussi en fait ça revient à faire une boucle partir de x et à revenir à x alors on peut représenter ça d'une manière différente je vais faire des schémas avec des patatoïde donc je vais représenter ici l'ensemble de départ de mes deux fonctions l'ensemble de définition ici les deux fonctions sont définis sur air donc ya pas tellement à s'inquiéter et on peut considérer que ici c'est l'ensemble de définition des deux fonctions g et f et puis donc leur ensemble d'arrivée je vais leur présenter comme ça ça c'est l'ensemble d'arrivée 2g et 2f aussi alors pour représenter ce premier cas ce que je fais c'est prendre une valeur x dans l'ensemble de définition dans l'ensemble de départ et à cette valeur je vais associer le nombre g2x grâce à la fonction j'ai donc ça c'est ce que fait la fonction g elle prend ce x et elle lui associe le nombre g2x et maintenant si j'applique à ce nombre là g2x la fonction f et bien ce qui va se passer c'est que je vais revenir à mon x de départ ici donc ça c'est ce que fait la fonction f donc finalement ce que j'ai fait c'est partir de la valeur x et revenir à la valeur x alors dans l'autre cas c'est exactement la même chose je pars d'un point x dans l'ensemble de départ et je calcule d'abord son image par la fonction f voilà j'obtiens un point ici qui est donc f 2 x un élément de l'ensemble d'arrivée donc ça c'est ce que fait la fonction f et puis si je calcule ensuite l'image de ce point là par la fonction j'ai donc j'applique la fonction j'ai à cenon bref 2x et bien je me retrouve de nouveau sur la valeur x ici ça c'est ce que fait la fonction g fais tu vois que là aussi ce que j'ai fait c'est partir de la valeur x et revenir à la valeur x alors en fait d'après tout ce qu'on a vu sur les fonctions réciproque ce que ça veut dire ici c'est que les fonctions f et g sont réciproques l'une de l'autre puisque si j'applique d'abord j'ai et puis ensuite f je reviens à la valeur de départ et si j'applique d'abord f puis j'ai et bien je reviens aussi à la valeur de départ donc ces deux fonctions g et f sont réciproques d'une l'une de l'autre ce que je peux écrire c'est que f - 1 2x la fonction réciproque de f et bien c'est g2x ça ça veut dire que j'ai et la fonction réciproque de ft je peux aussi tout à fait dire que j'ai moins 1 2 x la fonction réciproque de g et bien c f 2 x voilà on va s'arrêter là mais tu vois que ce qu'on a vu ici c'est une caractérisation assez intéressante en termes de fonctions composé de la réciproque d'une fonction on continuera à travailler là dessus dans les prochaines vidéos à bientôt