Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Prérequis :

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.
Par définition si une matrice a mm lignes et nn colonnes, elle est dite de dimension m×nm×n (dans cet ordre). La matrice AA a 22 lignes et 33 colonnes, donc elle est de dimension 2×32\times 3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur l'addition et la soustraction de deux matrices. On ne peut additionner ou soustraire deux matrices que si ces deux matrices sont de même dimension.

Additionner deux matrices

Soient A=[4837]A=\left[\begin{array}{rr}{4} &8 \\ 3 & 7 \end{array}\right] et B=[1052]B=\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 5 & 2 \end{array}\right]. Calculer la matrice A+BA+B.
Pour additionner deux matrices, on additionne les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.
A+B=[4837]+[1052]=[4+18+03+57+2]=[5889]\begin{aligned} {A}+{B} &= \left[\begin{array}{rr}{\blueD4} &\blueD{8} \\\blueD {3} & \blueD{7} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}{\goldD{1}} &\goldD{0} \\ \goldD{5} & \goldD{2} \end{array}\right] \\\\\\\\ &= \left[\begin{array}{rr}{\blueD4+\goldD{1}} &\blueD{8}+\goldD{0} \\\blueD{ 3}+\goldD{5} & \blueD7+\goldD2 \end{array}\right] \\\\\\\\ &= \left[\begin{array}{rr}{5} &8 \\ 8 & 9 \end{array}\right] \end{aligned}

À vous !

Soustraire deux matrices

De même, pour soustraire deux matrices, on soustrait les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.
Par exemple, soient C=[2809]C=\left[\begin{array}{rr}{2} &8 \\ 0 & 9 \end{array}\right] et D=[56113]D=\left[\begin{array}{rr}{5} &6 \\ 11 & 3 \end{array}\right].
La matrice CDC-D est la matrice :
CD=[2809][56113]=[258601193]=[32116]\begin{aligned}C-D&=\left[\begin{array}{rr}{\blueD2} &\blueD8 \\ \blueD0 & \blueD{9} \end{array}\right]-\left[\begin{array}{rr}{\goldD5} &\goldD{6} \\\goldD{ 11} & \goldD{3} \end{array}\right]\\ \\\\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{\blueD2-\goldD5} &\blueD{8}-\goldD{6} \\ \blueD{0}-\goldD{11} &\blueD{ 9}-\goldD3 \end{array}\right]\\ \\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{-3} &2 \\ -11 & 6 \end{array}\right] \end{aligned}

À vous !

Équations matricielles

Une équation matricielle est une équation dans laquelle l'inconnue est une matrice.
Voici un exemple d'équation matricielle :
A+[3522]=[101012] A+{\left[\begin{array}{rr}{3} &5 \\ 2& 2 \end{array}\right]}={\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 10& 12 \end{array}\right]}
Pour plus de simplicité on donne un nom aux deux matrices données dans l'équation :
Si B=[3522]{\greenD B= \greenD{ {\left[\begin{array}{rr}{3} &5 \\ 2& 2 \end{array}\right]}}} et C=[101012]{\purpleC C=\purpleC{{\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 10& 12 \end{array}\right]}}}, l'équation s'écrit :
A+B=CA=CB\begin{aligned}A+\greenD B&=\purpleC C\\\\ A&=\purpleC C-\greenD B\qquad\text{} \end{aligned}
On obtient :
A=CB=[101012][3522]=[1305102122]=[25810]\begin{aligned}A &=\purpleC{C}-\greenD{B}\\\\\\ &=\purpleC{{\left[\begin{array}{rr}{1} &0 \\ 10& 12 \end{array}\right]}}{-\greenD{\left[\begin{array}{rr}{3} &5 \\ 2& 2 \end{array}\right]}}\\\\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{1-3} &0-5 \\ 10-2&12-2 \end{array}\right]\\\\\\ &=\left[\begin{array}{rr}{-2} &-5 \\ 8& 10 \end{array}\right]\\ \end{aligned}
On utilise les mêmes méthodes que pour les équations numériques.

À vous !

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