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Algèbre

Cours : Algèbre > Chapitre 20 

Leçon 5: Additionner ou soustraire deux matrices
Mathématiques
Algèbre
Les matrices
Additionner ou soustraire deux matrices
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Additionner ou soustraire deux matrices

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Les prérequis

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.
3 colonnes2 lignes↓↓↓→→[−255267]\begin{array}{c} \goldE{\text{3 colonnes}} \\\\ \begin{array}{c} \blueE{\text{2 lignes}}&\goldE{\LARGE\downarrow}&\goldE{\LARGE\downarrow}&\goldE{\LARGE\downarrow} \\\\ \begin{array}{c} \blueE{\LARGE\rightarrow} \\\\ \blueE{\LARGE\rightarrow}\end{array} &\left[\begin{array}{c} -2 \\\\ 5\end{array}\right. &\begin{array}{c}5 \\\\ 2\end{array} &\left.\begin{array}{c}6 \\\\ 7\end{array}\right] \end{array} \end{array}
Par définition si une matrice a m lignes et n colonnes, elle est dite de dimension m, ×, n (dans cet ordre). La matrice A a 2 lignes et 3 colonnes, donc elle est de dimension 2, times, 3.
Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur l'addition et la soustraction de deux matrices. On ne peut additionner ou soustraire deux matrices que si ces deux matrices sont de même dimension.

Additionner des matrices

Soit A=[4837]\bold A=\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 3 & 7 \end{array}\right] et B=[1052]\bold B=\left[\begin{array}{c} 1 &0 \\\\ 5 & 2 \end{array}\right]. Voici comment calculer la somme A, plus, B de ces deux matrices :
Pour additionner la matrice A et la matrice B, on additionne les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.
A+B=[4837]+[1052]=[4+18+03+57+2]=[5889]\begin{aligned} \bold A+\bold B &= \left[\begin{array}{c} \blueE{4} &\blueE{8} \\\\ \blueE{3} & \blueE{7} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} \goldE{1} &\goldE{0} \\\\ \goldE{5} & \goldE{2} \end{array}\right] \\\\ &= \left[\begin{array}{c} \blueE{4}+\goldE{1} &\blueE{8}+\goldE{0} \\\\ \blueE{3}+\goldE{5} & \blueE{7}+\goldE{2} \end{array}\right] \\\\ &= \left[\begin{array}{c} 5 &8 \\\\ 8 & 9 \end{array}\right] \end{aligned}

À vous !

Exercice 1
A=[520119]\bold A=\left[\begin{array}{c} 5 &2 \\\\ 0& 1 \\\\ 1 & 9 \end{array}\right] et B=[234102]\bold B=\left[\begin{array}{c} 2 &3 \\\\ 4& 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right].
A, plus, B, equals

Exercice 2
Additionner.
[−1012−63]+[−14227]=\left[\begin{array}{c} -10 &12 \\\\ -6& 3 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} -1 &4 \\\\ 22& 7 \end{array}\right]=

Soustraire deux matrices

De même, pour soustraire deux matrices, on soustrait les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.
Par exemple, soit C=[2809]\bold C=\left[\begin{array}{c} 2 &8 \\\\ 0 & 9 \end{array}\right] et D=[56113]\bold D=\left[\begin{array}{c} 5 &6 \\\\ 11 & 3 \end{array}\right].
Voici le calcul de la matrice C, minus, D :%\bold\bold
C−D=[2809]−[56113]=[2−58−60−119−3]=[−32−116]\begin{aligned} \bold C-\bold D&=\left[\begin{array}{c} \blueE{2} &\blueE{8} \\\\ \blueE{0}& \blueE{9} \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} \goldE{5} &\goldE{6} \\\\ \goldE{11} & \goldE{3} \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} \blueE{2}-\goldE{5} &\blueE{8}-\goldE{6} \\\\ \blueE{0}-\goldE{11} &\blueE{9}-\goldE{3} \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} -3 &2 \\\\ -11 & 6 \end{array}\right] \end{aligned}

À vous !

Exercice 3
X=[4161022]\bold X=\left[\begin{array}{c} 4 &16 \\\\ 10& 22 \end{array}\right] et Y=[11563]\bold Y=\left[\begin{array}{c} 1 &15 \\\\ 6& 3 \end{array}\right].
X, minus, Y, equals

Exercice 4
Soustraire.
[349686734]−[167642415]=\left[\begin{array}{c} 3 & 4 & 9 \\\\ 6 & 8 & 6 \\\\ 7 & 3 & 4 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} 1 & 6 & 7 \\\\ 6 & 4 & 2 \\\\ 4 & 1 & 5 \end{array}\right]=

Multiplication par un scalaire et addition répétée

Qu'en est-il de l'addition répétée d'une matrice ?
A=[4821]\bold A=\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right]. On va calculer A, plus, A, plus, A.
=A+A+A=[4821]+[4821]+[4821]=[4+4+48+8+82+2+21+1+1]=[3×43×83×23×1]=3×[4821]=3A\begin{aligned} &\phantom{=}\bold A+\bold A+\bold A \\\\ &= \left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} 4+4+4 & 8+8+8 \\\\ 2+2+2 & 1+1+1 \end{array}\right] \\\\ &=\left[\begin{array}{c} \greenD{3}\times 4 & \greenD{3}\times 8 \\\\ \greenD{3}\times 2 & \greenD{3}\times 1 \end{array}\right] \\\\ &=\greenD{3}\times \left[\begin{array}{c} 4 &8 \\\\ 2& 1 \end{array}\right] \\\\ &=\greenD 3\bold A \end{aligned}
On voit que A, plus, A, plus, A, equals, 3, A.
Comme dans le cas de la multiplication d'un réel par un entier, la multiplication d'une matrice par un entier peut être considérée comme une addition répétée.

Soustraire c'est ajouter l'opposé

A, minus, B, equals, A, plus, left parenthesis, minus, B, right parenthesis, qui est égal à A, plus, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, times, B.

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