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Cours : Algèbre > Chapitre 20

Leçon 5: Additionner ou soustraire deux matrices

Additionner ou soustraire deux matrices

Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé.

Les prérequis

Une matrice est un tableau de nombres qui comporte des lignes et des colonnes. Chacun de ces nombres est un élément ou un coefficient de la matrice.

\begin{matrix} 3 colonnes \\ \begin{matrix} 2 lignes & ↓ & ↓ & ↓ \\ \begin{matrix} \to \\ \to \end{matrix} & [\begin{matrix} - 2 \\ 5 \end{matrix} & \begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix} & \begin{matrix} 6 \\ 7 \end{matrix}] \end{matrix} \end{matrix}

Par définition si une matrice a

m

lignes et

n

colonnes, elle est dite de dimension

m \times n

(dans cet ordre). La matrice

A

2

lignes et

3

colonnes, donc elle est de dimension

2 \times 3

Éventuellement, reportez-vous à la leçon Qu'est-ce qu'une matrice ?.

Le sujet traité

Cette leçon porte sur l'addition et la soustraction de deux matrices. On ne peut additionner ou soustraire deux matrices que si ces deux matrices sont de même dimension.

Additionner des matrices

Soit

A = [\begin{matrix} 4 & 8 \\ 3 & 7 \end{matrix}]

B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 5 & 2 \end{matrix}]

. Voici comment calculer la somme

A + B

de ces deux matrices :

Pour additionner la matrice

A

et la matrice

B

, on additionne les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.

\begin{aligned} A + B & = [\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 3 & 7 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 5 & 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 4 + 1 & 8 + 0 \\ 3 + 5 & 7 + 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 5 & 8 \\ 8 & 9 \end{array}] \end{aligned}

À vous !

Exercice 1

A = [\begin{matrix} 5 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 9 \end{matrix}]

B = [\begin{matrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}]

A + B =

Exercice 2

Additionner.

[\begin{matrix} - 10 & 12 \\ - 6 & 3 \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 1 & 4 \\ 22 & 7 \end{matrix}] =

Soustraire deux matrices

De même, pour soustraire deux matrices, on soustrait les éléments situés aux mêmes emplacements dans chacune des matrices.

Par exemple, soit

C = [\begin{matrix} 2 & 8 \\ 0 & 9 \end{matrix}]

D = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 11 & 3 \end{matrix}]

Voici le calcul de la matrice

C - D

\begin{aligned} C - D & = [\begin{array}{c} 2 & 8 \\ 0 & 9 \end{array}] - [\begin{array}{c} 5 & 6 \\ 11 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 2 - 5 & 8 - 6 \\ 0 - 11 & 9 - 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 11 & 6 \end{array}] \end{aligned}

À vous !

Exercice 3

X = [\begin{matrix} 4 & 16 \\ 10 & 22 \end{matrix}]

Y = [\begin{matrix} 1 & 15 \\ 6 & 3 \end{matrix}]

X - Y =

Exercice 4

Soustraire.

[\begin{matrix} 3 & 4 & 9 \\ 6 & 8 & 6 \\ 7 & 3 & 4 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 1 & 6 & 7 \\ 6 & 4 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \end{matrix}] =

Multiplication par un scalaire et addition répétée

Qu'en est-il de l'addition répétée d'une matrice ?

A = [\begin{matrix} 4 & 8 \\ 2 & 1 \end{matrix}]

. On va calculer

A + A + A

\begin{aligned} A + A + A \\ = [\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 2 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 2 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 4 + 4 + 4 & 8 + 8 + 8 \\ 2 + 2 + 2 & 1 + 1 + 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{c} 3 \times 4 & 3 \times 8 \\ 3 \times 2 & 3 \times 1 \end{array}] \\ = 3 \times [\begin{array}{c} 4 & 8 \\ 2 & 1 \end{array}] \\ = 3 A \end{aligned}

On voit que

A + A + A = 3 A

Comme dans le cas de la multiplication d'un réel par un entier, la multiplication d'une matrice par un entier peut être considérée comme une addition répétée.

Soustraire c'est ajouter l'opposé

A - B = A + (- B)

, qui est égal à

A + (- 1) \times B

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Pierre Buatois
Posté il y a il y a 2 ans. Lien direct vers le message de Pierre Buatois «merci explications à part ... »
merci explications à partir d exemples permet de comprendre et de retenir
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