Inversion d'une matrice 3x3 - mineurs et comatrice

on va maintenant apprendre à inverser une matrice de taille 3 3 donc je les dessine est ici c'est la matrice c'est donc avec les colonnes - 1 2 3 - 2 1 4 de 1,5 et donc on va voir la technique étape par étape pour inverser cette matrice 3,3 alors bien sûr inverser une matrice 3 3 c'est plus dur qu'un verser une bâtisse de deux mais si tu veux pour te rassure et il peut dire que c'est plus simple que d'inverser le matrix 4 4 ou une matrice 5,5 dans la pratique bien sûr c'est utile l'inversé une matrice 3,3 pour la résolution d'un certain nombre de problèmes mais ça va souvent être fait au final avec avec des ordinateurs mais c'est quand même bien de savoir le faire de connaître cette technique de l'as bien la comprendre et c'est ce qu'on va développer en fait dans cette vidéo alors pour commencer à partir de cette matrice 3 3mhz bien on va construire la matrice des mineurs alors qu'est ce que cette matrice des mineurs qui a un nom un peu abstrait on se demande bien qu'est ce qu'il peut y avoir à l'intérieur ben on va faire progressivement le remplissage de cette matrice et tu vas voir qu'au final c'est pas si compliqué que ça on comprend bien comment former cette matrice des mineurs donc la matrice des mineurs est en fait formé des déterminants des sous matrice de taille de 2 qu'on peut former dans cette matrice et donc par exemple si je regarde le premier élément haut à gauche eh bien je vais rayer la première colonne et la première ligne il me reste une matrice de taille de deux ans colonnes 1,4 1,5 et bien le premier élément de cette matrice des mineurs sera le déterminant de cette sous matrice de taille de 2 donc 1,4 1,5 et on continue de la même façon pour remplir chaque élément de cette matrice de taille 3 3 donc deuxième élément sur la première ligne donc on fait le même raisonnement on va supprimer la colonne dans lequel se trouve cet élément est la ligne et donc comme tu l'aura deviné le déterminant la matrice de deux restantes et sont déterminants c'est donc e3 en colonne et 1,5 puisque c'est les quatre éléments qui ne sont pas barré c'est à dire qu'ils ne sont ni sur la colonne ni sur la ligne de l'élément de matrix qu'on a entouré donc on continue le troisième élément sur la première ligne eh bien on va le construire avec le déterminant de l'asu matrix 2 2 que jean tour ici en virtuel donc c'est le déterminant de la colonne 2 3 et 1 4 là je pense que tu commence à bien comprendre si tu veux tu peux faire une pause dans cette vidéo continuer par toi même et après vérifier si tu as bien obtenu la même chose donc nous on continue progressivement cette fois le premier élément en deuxième ligne eh bien on va l'obtenir avec la même façon en barrant la première colonne et la ligne du milieu du coup il nous reste le déterminant de moins de 4 2 et 5 ensuite quel est le mineur de cet élément au centre ici eh bien on supprime cette colonne et cette ligne il nous reste donc le déterminant formé par -1 3 de 5 ensuite le mineur de cet élément en deuxième ligne et troisième colonne toujours le même raisonnement bar la colonne anbar la ligne qu'est ce qui nous reste une matrice de taille de 2 dont on prend le déterminant -1 3 - 2 4 voilà on a déjà rempli les deux tiers et on va continuer ok éléments suivants mineurs suivants c'est le 3 ici donc je barre la première colonne et la dernière ligne très simplement il nous reste moins 2 1 2 1 voici sont déterminants suivant donc notre 4 ici quelle est la summa trice associés c'est moins 1 2 2 1 et si j'en prends sont déterminants -1 2 2 1 le voilà et enfin on arrive au bout de nos peines dernière éléments dernier mineur à trouver et bien là sous matrice c'est moins un de moins de 1 donc j'en prends le déterminant -1 2 - 2 1 donc maintenant on peut continuer les calculs puisque les déterminants d'une matrice de 2 c est très facile à trouver donc on va pouvoir avoir les valeurs numériques les nombres et les chiffres de cette matrice des mineurs gelard dessine ici ok donc premiers éléments en haut à gauche est le déterminant de cette matrice donc ça va être une fois 5 - 4 x 1 donc ça fait 5 - 4 soit 1 ensuite deuxième élément le déterminant qui va nous donner ici donc deux fois 5 10 - 3 x 1 3-10 moins trois sets donc le deuxième élément c'est 7 puis ce troisième élément de cette première ligne ici on a deux fois 4 8 - trois fois zain ça fait 5 donc ça va vite au final parce que bon déterminant d'une matrice de 2 c'est très facile donc c'est le produit de la première diagonale - le produit de la deuxième donc ici on a moins 2 fois 5 ça fait moins 10 auquel on soustrait deux fois 4 8 donc ça fait moins 10 - 8 - 18 puis ici - moins 1 fois 5 - 5 - 3 x 2 donc trois fois deux c6 donc - 5 - 6 ça nous fait moins 11 pour l'élément au centre de la matrice donc ici - 1 x 4 - 4 auquel on soustrait trois fois moins de -6 où ça nous fait - 4 - - 6 donc ça nous fait moins quatre +6 donc deux on attaque la dernière ligne moins deux fois 1 - 2 - et 1 x 2 ça fait bien sûr d'eux nous ça fait moins de moins donc moins quatre ici - 1 x 1 - 1 auquel on soustrait - 2 auquel on soustrait 2 x 2 4 donc ça fait moins 1 - 4 - 5 et on arrive sur le en fin le dernier élément - 1 auquel on soustrait moins 2 fois 2 donc auquel on soustrait - - cadre vous ça fait moins un +4 donc ça nous fait 3 alors maintenant qu'on a trouvé les valeurs numériques de notre matrice des mineurs eh bien on va construire ce qu'on appelle là comme matrix ou la matrice des cofacteurs alors qu'est ce que c'est que cette chose barbare je veux simplement te montrer comment on la trouve c'est très simple donc on va se souvenir de la matrice des signes donc pour pouvoir trouver là comme à three c'est bien il faut appliquer un certain nombre de changements de signes dans cette matrice des mineurs et là changement de signes sont les suivants donc on va faire un plus 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - est un plus un moins un de plus donc en fait ici la position des plus et des moins dans cette matrice de taille 3 3 va nous redire si il faut multiplier chacun des éléments de cette matrice des mineurs par moins un ou plus simple pour obtenir la coma trice donc c'est parti on y va on va faire apparaître notre co matrice de son nom barbare comme matrix est donc cette co matrix ont valu appliquer le rapport de signes que j'ai détails ici donc le premier élément est multipliée pas plus sain donc ça reste un le deuxième élément est x - 1 ça devient un set le troisième ici on a un plus donc ça fait plus 5 si on avait moins 18 il ya un moins donc ça va faire plus 18 un plus on avait 1 - donc ça on reste un moins ça nous fait moins 11 l'un d'eux avec un moins ça nous fait moins deux en bas à gauche le moins 4 x + 1 ça reste moins quatre au centre -5 que x - 1 ça fait plus 5 enfin en bas à droite on a 3 x + 1 ça reste bien 3 donc si je résume la situation on est parti d'une matrice de taille 3 3 que l'on voulait inversée on a calculé d'abord la matrice des mineurs qui en fait une fac élément est en fait le déterminant ray sous matrice de taille de deux correspondantes on obtient la matrice des mineurs calculé ici ensuite on va x plus ou moins 1 selon le schéma des plus et des moins que j'ai dessiné ici à bien retenir pour obtenir là comme à three l'aco matrix est là et donc prochaine étape qu'on va faire dans la prochaine vidéo et bien c'est calculé l'un vers ce que l'on va obtenir en fait avec le déterminant et sept co matrix