Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice

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Opérations sur les lignes d'une matrice

Voici les trois opérations élémentaires que l'on peut faire sur les lignes d'une matrice :
OpérationExemple
Echanger deux lignes
Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 0
Additionner deux lignes
Le but est de faciliter la résolution du système auquel est associé la matrice. Avant d'étudier comment, un peu d'entraînement à ces opérations.

Échanger deux lignes

Exemple

Appliquer l'opération L1L2L_1 \leftrightarrow L_2 à cette matrice.
[483245712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]

Réponse

L1L2L_\blueD1 \leftrightarrow L_\greenD2 signifie échanger la ligne 1\blueD1 et la ligne 2\greenD2.
La matrice [483245712]\left[\begin{array} {rrr} \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] devient [245483712]\left[\begin{array} {rrr} \greenD2 & \greenD4 & \greenD5 \\ \blueD4 & \blueD8 & \blueD{3} \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] .
Ce qui peut être noté :
[483245712]L1L2[245483712]\left[\begin{array} {rrr} 4 & 8 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right] \xrightarrow{{L_1\leftrightarrow L_2}}\left[\begin{array} {rrr} 2 & 4 & 5 \\ 4 &8 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{array} \right]
La ligne 11 est remplacée par la ligne 22 et la ligne 22 par la ligne 11. La ligne 33 est inchangée.

Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 00

Exemple

Appliquer l'opération 3L2L23L_2 \rightarrow L_2 à cette matrice.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]

Réponse

3L2L2\maroonD3L_\goldD2 \rightarrow L_\goldD2 signifie remplacer la 2e\goldD{2\text{e}} ligne par son produit par 3\maroonD3.
[661230459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \goldD{2} & \goldD{3} & \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] devient [6613×23×33×0459]=[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ \maroonD{3}\times \goldD{2} &\maroonD{3}\times \goldD{3} &\maroonD{3}\times \goldD{0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] =\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Ceci peut être noté :
[661230459]3L2L2[661690459]\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right] \xrightarrow{\Large{3L_2\rightarrow L_2}}\left[\begin{array} {rrr} 6 & 6 & 1 \\ 6 & 9 & {0} \\ 4 & 5 & 9 \end{array} \right]
Chacun des éléments de la deuxième ligne est multiplié par 33. Les deux autres lignes sont inchangées.

Additionner deux lignes

Exemple

Appliquer l'opération L1+L2L2L_1+L_2 \rightarrow L_2 à cette matrice.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right]

Réponse

L1+L2L2L_\tealD1+L_\purpleC2\rightarrow L_2 signifie remplacer la 2e{2\text{e}} ligne par la somme de la 1eˋre\tealD{1\text{ère}} ligne et de la 2e\purpleC{2\text{e}} ligne.
[234081]\left[\begin{array} {rrr} \tealD2 & \tealD{3} &\tealD{ 4}\\ \purpleC0 & \purpleC8 & \purpleC1 \end{array} \right] devient [2342+03+84+1]=[2342115]\left[\begin{array} {lll} \tealD2 &{\tealD3} &{ \tealD4}\\ \tealD2+\purpleC0 & \tealD3+\purpleC8 & \tealD4 +\purpleC1 \end{array} \right]= \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
Ceci peut être noté :
[234081]L1+L2L2[2342115]\left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 0 & 8 & 1 \end{array} \right] \xrightarrow{\Large{L_1+L_2\rightarrow L_2}} \left[\begin{array} {rrr} 2 & 3 & 4\\ 2 & 11 & 5 \end{array} \right]
La ligne 22 est remplacée par la somme de la ligne 22 et de la ligne 11.

Les systèmes d'équations et les opérations sur les lignes de la matrice associée

Dans la matrice augmentée associée à un système linéaire, le nombre de lignes est égal au nombre d'équations du système. Les premières colonnes sont constituées des coefficients des variables et la dernière colonne est constituée des constantes qui sont à droite du signe ==.
Par exemple, voici un système et la matrice augmentée qui lui est associée :
SystèmeMatrice
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} 1x+3y &=5\\2x+5y &=6\end{aligned}[135256]\left[\begin{array}{rr}1&3&5\\2&5&6\end{array}\right]
Si on applique une opération sur les lignes à la matrice augmentée d'un système linéaire, on obtient une nouvelle matrice augmentée qui est celle d'un système équivalent au système initial. On va le justifier.

Échanger deux lignes

Systèmes équivalentsMatrices augmentées
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \\\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6} \end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{rr}1&3&5\\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
2x+5y=61x+3y=5\begin{aligned}\greenD{2}x+\greenD{{5}}y &=\greenD{6}\\ \blueD1x+\blueD3y &=\blueD{5} \end{aligned}[256135]\left[\begin{array}{rr}2&5&6\\1&3&5\end{array}\right]
Les deux systèmes sont équivalents car l'ensemble des solutions d'un système n'est pas modifié si on modifie l'ordre des équations. Ce résultat est général, donc on peut échanger deux lignes dans la matrice augmentée d'un système.

Multiplier les éléments d'une ligne par un réel différent de 00

Si on multiplie les deux membres d'une équation par un réel non nul, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale.
En multipliant les deux membres d'une équation d'un système par un réel non nul, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale, donc le nouveau système obtenu est aussi équivalent au système initial.
Systèmes équivalentsMatrices augmentées
1x+3y=52x+5y=6\begin{aligned} \maroonD1x+\maroonD3y &=\maroonD5 \\2x+5y &=6\end{aligned} [135256]\left[\begin{array}{rr}\maroonD1 & \maroonD3 &\maroonD5 \\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
2x+(6)y=102x+()5y=6\begin{aligned}\goldD{-2}x+(\goldD{-6})y &=\goldD{-10} \\2x+\phantom{(-)}5y &=6\end{aligned} [2610256]\left[\begin{array}{rr}\goldD{-2}&\goldD{-6}& \goldD{-10}\\2&5&6\end{array}\right]
Donc on peut multiplier par un réel non nul l'une des lignes de la matrice augmentée d'un système.

Additionner deux lignes

Si on ajoute des quantités égales aux deux membres d'une équation, on obtient une équation équivalente à l'équation initiale.
Si A=BA=B et C=DC=D, alors A+C=B+DA+C=B+D.
Quand on résout un système de deux équations par addition, on remplace l'une des équations par la somme des deux. Par exemple, pour résoudre le système 2x6y=102x+5y=6\begin{aligned}-2x-6y &=-10 \\ {2}x+{{5}}y &={6}\end{aligned}, on additionne les deux équations membre à membre, pour obtenir l'équation y=4-y=-4.
Le système obtenu en remplaçant l'une des équations par cette nouvelle équation est équivalent au système initial.
Systèmes équivalentsMatrices augmentées
2x6y=102x+5y=6\begin{aligned} -2x-6y &=-10\\2x+5y &=6\end{aligned} [2610256]\left[\begin{array}{rrr}-2&-6&-10\\2&5&6\end{array}\right]
\downarrow
2x+(6)y=100x+(1)y=4\begin{aligned}-2x+(-6)y &=-10\\\purpleC0x+(\purpleC{-1})y &=\purpleC{-4} \end{aligned}[2610014]\left[\begin{array}{rr}-2&-6&-10\\0&-1&-4\end{array}\right]
Donc on peut additionner deux lignes de la matrice augmentée d'un système.
La matrice donnée est celle du système 2x+2y=102x3y=3\begin{aligned} 2x+2y &={10} \\ {-2}x-3y &={ 3} \end{aligned}, et la matrice obtenue est celle du système x=18y=13\begin{aligned} x&=18 \\ y&=-13 \end{aligned} où le couple solution est en évidence.
On a résolu le système en appliquant des opérations aux lignes de la matrice !
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