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Le calcul de la matrice inverse d'une matrice 2x2

Transcription de la vidéo

jusqu'à présent on a fait pas mal d'analogie entre le monde des scalaires le monde des nombres réels par exemple et le monde des matrices on a vu ce que c'était qu'une soustraction entre des matrices une addition matricielle on a vu également la multiplication matricielle en faisant l'analogie avec le chiffre 1 qui lorsqu on multiplie par n'importe quel nombre donne le même nombre donc c'est ce que j'aurais écrit ici on a pu définir la matrice identité grand ti qui lorsqu'on a multiplié par une matrice granta va donner cette même matrice grand teint et que ce soit il faut un grand tas ou à foix grant y est bien j'obtiens bien sûr la matrice a toujours mais ces deux matrices identités ne sont pas forcément de la même taille en particulier elles ne sont pas de la même taille si la matrice à n'être pas une matrice carrie donc la matrice la matrice si on lui donne souvent un indice pour indiquer sa taille i 2 c la matrice de taille de 2 donc avec que d 1 sur la diagonale i3 tu l'a bien compris et tu t'en souviens par rapport aux vidéos précédentes c'est une matrice de taille 3 3 avec que d 1 sur la diagonale et ainsi de suite alors pour s'amuser on peut juste regarder ce qui se passe dans le cas général d'une matrice identité donc avec des seins sur la diagonale de taille de 2 que l'on multiplie avec une matrice de taille de 2 avec les éléments qui sont a b c et d donc ça je t'encourage à faire une pause dans la vidéo et leurs calculs et puisque c'est quelque chose qu'on a déjà vu et que tu dois savoir faire donc j'espère que tu as essayé on va le faire ensemble ici donc la matrice identité fois cette matrice a b c d et bien ça nous donne première ligne fois première colonne donc ici ça fait un an suite première ligne fois deuxième colonne ici ça fait b 2e ligne fois première colonne s'affaisser deuxième ligne fois deuxième colonne et sa fédé donc on a remontré bien sûr dans ce cas précis d'une matrice de taille de deux là que identité fois cette matrice nous donne bien cette même matrice donc après c'est petit rappel on va faire on va partir d'un deuxième exemple dans le monde des scanners pour essayer d'en tirer une nouvelle notion dans le monde des matrices c'est la notion de matrix inverse donc comme on l'a dit dans les scanners 1 fois à 1 fois le nombre un bien ça nous donne un et si je fais 1 sur 1 avec acquis et non nul bien sûr un sur un fond 1 et bien c'est égal à 1 avec ici ce qu'on appelle l' inverse un sur race et l' inverse de à ça revient bien sûr à la même chose que / ha et le produit 1 / à foix à nous donne bien le chiffre est ce qu'on peut trouver un équivalent de cette inverse assurera dans le monde des matrices et donc si on essaie d'écrire donc en fait l'équivalent de cette équation dans le monde des matrices bien ça s'écrit comme ça linverse de à on le note 'aaa' puissance - 1 si on multiplie à puissance moins un parent et bien on obtient la matrice identité et en fait on va voir ici aussi que eh bien on peut écrire même si de manière générale la multiplication matricielle n'est pas commutative là on peut écrire que à fond à moins un c'est également égal à l'identité ce qui nous permet ces deux relations nous permettent de dire en fait que a est la matrice inverse de à -1 ce qui veut dire que à moins 1 - 1 ça donne un entre guillemets et donc comme je viens de le dire en fait plusieurs fois la notion d' inverse dans les matrices ça se note puissance moins 20 ça existe bien et la relation qui définit une matrice inverse et bien c'est à moins 1 fois à égalité et à foix à -1 et gales l'identité alors on va faire un peu de place et prendre un exemple général on va dire que a est une matrice de taille de 2 avec les éléments a b c et d donc en fait dans le cadre d'une matrice de taille de deux calculent et son inverse c'est assez facile si on passe à une matrice de taille 3 3 ça devient plus compliqué est une matrice de taille 4 4 encore plus compliqué donc c'est souvent quelque chose en fait qu'on va faire pour les matrices de taille importante c'est souvent quelque chose qu'on va faire avec les ordinateurs par exemple mais c'est important de savoir inverser les matrices de petite taille matrice de taille 2 par exemple qu'on va voir ici donc l' inverse de la matrice à qu'on note impuissance moins-17 égal à on l'a vu dans la vidéo précédente 1 sur des terminaux 2a qu'on note dette de 1 donc se déterminant j'étais déjà montré en fait comment le calcul et c'est le produit de la première diagonale en haut à gauche en bas à droite donc un fois des moins le produit de la seconde diagonale en bas à gauche en haut à droite donc à fouad et moimbé fois c est donc ce 1 / déterminant c'est un scalaire ici on le multiplie par la matrice suivante qu'une matrice de taille 2 2 parce qu'on est dans ce qu'on cherche inverse d'une matrice de taille de 2 est donc cette matrice les éléments de cette matrice les éléments cette matrice obtiennent de la façon suivante sur la première diagonale en haut à gauche en bas à droite on va inverser les éléments sur la première diagonale en haut à gauche en bas à droite on va changer les éléments on va aller lui qui était en haut à gauche le 1 se retrouvent en bas à droite et celui qui était en bas à droite se retrouvent à gauche et pour la 2ème biago na li 6 et bien on va garder les mêmes éléments la même place mais en les multipliant par moins 20 ans ici ça fait moins c - b alors le déterminant gelé noté des deux a comme on l'a déjà vu ça peut également se doter comme la valeur absolue avec deux barres verticales cette matrice inverse à -1 c'est donc égale à 1 sur ad - bc fois la matrice des - b - c1 alors maintenant qu'on a défini cette inverse dans le cas général cette matrice inverse dans le cas général d'une matrice de taille de 2 eh bien on va faire un peu de place et calculé linverse d'une matrice de taille de 2 en vérifiant à la fin que l' inverse de la matrice fois cette matrice nous donne bien l'identité on va partir d'une certaine matrice que je note b ici donc by par exemple 3 - 4 de -5 donc b - 1 linverse de bi1 sur le déterminant donc déterminant trois fois - 5 - 15 - deux fois moins 4 donc ça fait moins -8 donc ça fait plus 8 enfin la matrice que l'on construit en changeant les éléments de la première diagonale donc moins cinq qui étaient en bas passe en haut à gauche et trois qui étaient en haut à gauche passe en bas à droite et les sur la 2ème diagonale les éléments on les multiplie par -1 donc deux devient moins 2 et 4 - 4 pardon devient 4 donc des moins 1 c'est égal à 1 sur cette fois la matrice - st 4 - 2 3 donc b - 1 c'est égal à -5 7e 4 7e - 2 7e 3 7e donc là je me rends compte que j'ai laissé passer une erreur ici c'est moins 15 + 8 mais c'est bien moins 7 donc ici il faut que j'aie inverse les signes dans la matrice donc ici on a plus plus -4 7e - 3 7e et donc maintenant on va vérifier ce que vaut b - 1 x b donc bien sûr on devrait trouver l'identité donc b - 1 x b c'est égal 1 5 7e - 4 7e 2 7e - 3/7 que l'on multiplie par la matrice b la matrice b c 3 - 4 2 - 5 donc c'est parti on déroule les calculs alors premiers éléments 5/7 x 3 ça fait 15 7e auxquels j'ajoute -4 septième fois de moins 8 7e deuxième élément de la première ligne ça nous fait moins quatre fois 5/7 donc moins vingt septième auxquels j'ajoute -4 septième fois 5 + 27e ici on a ensuite la deuxième ligne fois la première colonne ça nous fait deux septième fois 3 ça fait 6 7e auquel on ajoute - 3 7e fois de donc moins 6 7e et enfin dernier élément c'est la deuxième ligne fois la deuxième colonne le produit scalaires la deuxième ligne est la deuxième colonne ça nous fait moins 8 7e +15 7e voilà notre matrice résultats alors est-ce qu'on peut simplifier quelques éléments là dedans 15 7e - 8 7e et bien ça fait 7 7e 7/7 c'est exactement 1 27e - 27ème bardon plus d'un septième ça fait 0 6 7e - 6/7 ça fait zéro et moins 8 7e plus qu'un septième et bien ça fait bien sept sur sept c'est à dire un donc là on a vérifié des moins 1 fois b ça nous donne bien la matrice identité donc dans l'exemple ici d'une matrice de deux on a bien retrouvé des moins 1 fois b donne la matrice identité de taille 2 donc je te laisse le soin de vérifier que b x b - nous donne bien également l'identité